МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

По данному запросу не найдено записей!

» Версия для печати

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1. Определение линейного пространства. Примеры пространств. Линейные подпространства. Линейная зависимость векторов. Линейно независимые, максимальные системы векторов. Базис пространства, координаты векторов.

ЛЕКЦИЯ 2. Понятие матрицы. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование) и их свойства. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Структура решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

ЛЕКЦИЯ 3. Теорема о том, что система векторов, количество которых превосходит количество векторов в максимальной, линейно независимой системе, линейно зависима. Размерность линейного пространства. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными. Определители 2 - го и 3 - го порядка.

ЛЕКЦИИ 4-5. Перестановки, инверсия, четность и нечетность перестановки, транспозиции. Подстановки, их четность и нечетность. Произведение подстановок. Определители n-го порядка и их свойства.

ЛЕКЦИЯ 6. Миноры и их алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа. Примеры вычисления определителей.

ЛЕКЦИЯ 7. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема об определителе произведения двух матриц. Обратная матрица. Явная запись обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.

ЛЕКЦИЯ 8. Теорема о том, что элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований. Ранг произведения матриц. Теорема Кронекера - Капелли. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Реализация элементарных преобразований умножением на элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

ЛЕКЦИЯ 9. Пересечение линейных подпространств. Линейные оболочки. Сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. Линейные функционалы, операции над ними. Сопряженное пространство. Линейные операторы, их образ и ядро. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности. Операции над линейными операторами.

ЛЕКЦИЯ 10. Линейные преобразования, их матрицы. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы. Характеристическая матрица и характеристический многочлен. Независимость характеристического многочлена от выбора базиса.

ЛЕКЦИЯ 11. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Базис из собственных векторов в случае простого спектра. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Соотношение между ними. Прямая сумма собственных подпространств. Теорема об эквивалентности диагонализируемости линейного оператора и равенства алгебраической и геометрической кратности.

ЛЕКЦИЯ 12. Нильпотентные операторы, их спектр. Циклические операторы. Простейший вид матрицы циклического оператора. Разложение нильпотентного оператора в прямую сумму циклических операторов. Корневое подпространство, отвечающее собственному значению. Прямая сумма корневых подпространств, отвечающих различным собственным значениям. Теорема о равенстве размерности корневого подпространства алгебраической кратности соответствующего собственного значения. Теорема о приведении матрицы линейного оператора, все собственные значения которого лежат в заданном поле, к нормальной жордановой форме.

ЛЕКЦИЯ 13. Билинейные функционалы. Положительно определенные билинейные функционалы. Скалярное произведение. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора. Неравенство Коши - Буняковского. Неравенство треугольника. Выражение скалярного произведения в координатах. Метрический тензор. Критерий Сильвестра. Преобразование метрического тензора при замене базиса. Задание скалярного произведения по метрическому тензору.

ЛЕКЦИЯ 14. Ортогональные и ортонормированные системы векторов в евклидовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравество Бесселя. Свойства ортонормированных систем векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Ортогональные дополнения линейных подпространств. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

ЛЕКЦИЯ 15. Линейные пространства над полем комплексных чисел. Полуторалинейные функционалы. Эрмитовы функционалы. Положительно определенные эрмитовы функционалы. Скалярное произведение. Унитарные (эрмитовы) пространства. Линейные операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах. Теорема о виде линейного функционала в эрмитовом пространстве. Сопряженный оператор, его матрица и свойства. Самосопряженные операторы, их матрицы. Свойства самосопряженных операторов. Ортогональная диагонализируемость самосопряженных операторов.

ЛЕКЦИЯ 16. Матрицы, отвечающие билинейному функционалу в некотором базисе. Преобразование матрицы билинейного функционала при переходе к новому базису. Матричный ранг билинейного функционала. Симметричные и кососимметричные билинейные функционалы. Квадратичные функционалы, квадратичные формы и отвечающие им матрицы. Взаимно однозначное соответствие между симметричными билинейными функционалами и квадратичными функционалами. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Единственность нормального вида квадратичного функционала (комплексный и вещественный случаи). Ортогональные преобразования в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Операции над матрицами. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

ЗАНЯТИЕ 2. Вычисление определителей.

ЗАНЯТИЕ 3. Решение систем линейных уравнений с помощью правила Крамера.

ЗАНЯТИЕ 4. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

ЗАНЯТИЕ 5. Вычисление обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

ЗАНЯТИЕ 6. Собственные значения и собственные векторы.

ЗАНЯТИЕ 7. Приведение матрицы к жордановой форме.

ЗАНЯТИЕ 8. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1. Определение линейного пространства. Примеры пространств. Линейные подпространства. Линейная зависимость векторов. Линейно независимые, максимальные системы векторов. Базис пространства, координаты векторов.

ЛЕКЦИЯ 2. Понятие матрицы. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение матриц, транспонирование) и их свойства. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Структура решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

ЛЕКЦИЯ 3. Теорема о том, что система векторов, количество которых превосходит количество векторов в максимальной, линейно независимой системе, линейно зависима. Размерность линейного пространства. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными. Определители 2 - го и 3 - го порядка.

ЛЕКЦИИ 4-5. Перестановки, инверсия, четность и нечетность перестановки, транспозиции. Подстановки, их четность и нечетность. Произведение подстановок. Определители n-го порядка и их свойства.

ЛЕКЦИЯ 6. Миноры и их алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа. Примеры вычисления определителей.

ЛЕКЦИЯ 7. Правило Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема об определителе произведения двух матриц. Обратная матрица. Явная запись обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.

ЛЕКЦИЯ 8. Теорема о том, что элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований. Ранг произведения матриц. Теорема Кронекера - Капелли. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Реализация элементарных преобразований умножением на элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

ЛЕКЦИЯ 9. Пересечение линейных подпространств. Линейные оболочки. Сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. Линейные функционалы, операции над ними. Сопряженное пространство. Линейные операторы, их образ и ядро. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности. Операции над линейными операторами.

ЛЕКЦИЯ 10. Линейные преобразования, их матрицы. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы. Характеристическая матрица и характеристический многочлен. Независимость характеристического многочлена от выбора базиса.

ЛЕКЦИЯ 11. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Базис из собственных векторов в случае простого спектра. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Соотношение между ними. Прямая сумма собственных подпространств. Теорема об эквивалентности диагонализируемости линейного оператора и равенства алгебраической и геометрической кратности.

ЛЕКЦИЯ 12. Нильпотентные операторы, их спектр. Циклические операторы. Простейший вид матрицы циклического оператора. Разложение нильпотентного оператора в прямую сумму циклических операторов. Корневое подпространство, отвечающее собственному значению. Прямая сумма корневых подпространств, отвечающих различным собственным значениям. Теорема о равенстве размерности корневого подпространства алгебраической кратности соответствующего собственного значения. Теорема о приведении матрицы линейного оператора, все собственные значения которого лежат в заданном поле, к нормальной жордановой форме.

ЛЕКЦИЯ 13. Билинейные функционалы. Положительно определенные билинейные функционалы. Скалярное произведение. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора. Неравенство Коши - Буняковского. Неравенство треугольника. Выражение скалярного произведения в координатах. Метрический тензор. Критерий Сильвестра. Преобразование метрического тензора при замене базиса. Задание скалярного произведения по метрическому тензору.

ЛЕКЦИЯ 14. Ортогональные и ортонормированные системы векторов в евклидовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравество Бесселя. Свойства ортонормированных систем векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Ортогональные дополнения линейных подпространств. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

ЛЕКЦИЯ 15. Линейные пространства над полем комплексных чисел. Полуторалинейные функционалы. Эрмитовы функционалы. Положительно определенные эрмитовы функционалы. Скалярное произведение. Унитарные (эрмитовы) пространства. Линейные операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах. Теорема о виде линейного функционала в эрмитовом пространстве. Сопряженный оператор, его матрица и свойства. Самосопряженные операторы, их матрицы. Свойства самосопряженных операторов. Ортогональная диагонализируемость самосопряженных операторов.

ЛЕКЦИЯ 16. Матрицы, отвечающие билинейному функционалу в некотором базисе. Преобразование матрицы билинейного функционала при переходе к новому базису. Матричный ранг билинейного функционала. Симметричные и кососимметричные билинейные функционалы. Квадратичные функционалы, квадратичные формы и отвечающие им матрицы. Взаимно однозначное соответствие между симметричными билинейными функционалами и квадратичными функционалами. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Единственность нормального вида квадратичного функционала (комплексный и вещественный случаи). Ортогональные преобразования в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Операции над матрицами. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

ЗАНЯТИЕ 2. Вычисление определителей.

ЗАНЯТИЕ 3. Решение систем линейных уравнений с помощью правила Крамера.

ЗАНЯТИЕ 4. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

ЗАНЯТИЕ 5. Вычисление обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

ЗАНЯТИЕ 6. Собственные значения и собственные векторы.

ЗАНЯТИЕ 7. Приведение матрицы к жордановой форме.

ЗАНЯТИЕ 8. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Курсовые работы

Курсовых работ нет.

Рекомендуемая литература

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М., Наука, 1975.

2. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. - М., Наука, 1979.

3. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. (Учебное пособие). - М., Гардарики, 1999.

4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М., Наука, 1967.

5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовы расчеты. М., Высшая школа, 1994.

6. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (под ред. А.В.Ефимова). - М., Наука, 1981.

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М., Наука, 1988.