МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

По данному запросу не найдено записей!

» Версия для печати

Лекции

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛЕКЦИЯ 1. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

ЛЕКЦИЯ 2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.

ЛЕКЦИЯ 3. Операции над матрицами, их свойства. Обратная матрица, ее вычисление. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Структу-ра общего решения однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 5. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.

ЛЕКЦИЯ 6. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 7. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства предела. Односторонние пределы. Предел числовой последовательности. Заме-чательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 8. Натуральный логарифм и гиперболические функции. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.

ЛЕКЦИЯ 9. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функций и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольше-го и наименьшего значений, промежуточные значения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 10. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Дифференцируемость функции, её связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Линеаризация функции.

ЛЕКЦИЯ 11. Свойства производной (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Таблица производных, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

ЛЕКЦИЯ 12. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

ЛЕКЦИЯ 13. Теоремы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

ЛЕКЦИЯ 14. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия возрастания и убывания функции.

ЛЕКЦИИ 15-16. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Практика

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЗАНЯТИЕ 1. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Вычисление определителей с помощью их свойств.

ЗАНЯТИЕ 2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.

ЗАНЯТИЕ 3. Операции над матрицами. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

ЗАНЯТИЕ 4. Нахождение ранга матрицы. Нахождение общих решений однородных и неоднородных систем.

ЗАНЯТИЕ 5. Векторы. Действия над векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведения векторов.

ЗАНЯТИЕ 6. Контрольная работа "Системы линейных уравнений и векторная алгебра".

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЗАНЯТИЕ 7. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления пределов.

ЗАНЯТИЕ 8. Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов. Выдача КР 1.

ЗАНЯТИЕ 9. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечные малые. Применение эквивалентных бесконечных малых к вычислению пределов.

ЗАНЯТИЕ 10. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 11. Производная функции. Таблица производных. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные обратных функций. Логарифмическое дифференцирование.

ЗАНЯТИЕ 12. Производные высших порядков. Производные неявных и параметрически заданных функций.

ЗАНЯТИЕ 13. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

ЗАНЯТИЕ 14. Формула Тейлора, ее применение в приближенных вычислениях и при вычислении пределов.

ЗАНЯТИЯ 15-16. Исследование функций и построение графиков. Прием КР 1.

Лекции

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛЕКЦИЯ 1. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

ЛЕКЦИЯ 2. Общее уравнение плоскости, его исследование. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

ЛЕКЦИЯ 3. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду. Угол между прямой и плоскостью, между двумя прямыми.

ЛЕКЦИЯ 4. Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

ЛЕКЦИЯ 5. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

ЛЕКЦИЯ 6. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения.

ЛЕКЦИЯ 7. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка на плоскости.

ЛЕКЦИЯ 8. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды. Понятие о классификации поверхностей второго порядка.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 9. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

ЛЕКЦИЯ 10. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Показательная функция комплексного аргумента. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

ЛЕКЦИЯ 11. Многочлены и их корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел. Простые и кратные корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

ЛЕКЦИЯ 12. Рациональные функции. Деление многочленов, выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

ЛЕКЦИЯ 13. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

ЛЕКЦИЯ 14. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.

ЛЕКЦИЯ 15. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Интегрируемость непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных ограниченных функций.

ЛЕКЦИЯ 16. Теорема о среднем значении для определенного интеграла. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

ЛЕКЦИЯ 17. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

ЛЕКЦИЯ 18. Площадь в полярных координатах. Длина дуги кривой и ее вычисление. Вычисление объемов тел.

ЛЕКЦИЯ 19. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Несобственные интегралы от неограниченных функций, исследование их сходимости.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЛЕКЦИЯ 20. Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

ЛЕКЦИИ 21-22. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

ЛЕКЦИЯ 23. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

ЛЕКЦИЯ 24. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.

Практика

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЗАНЯТИЕ 1. Прямая на плоскости.

ЗАНЯТИЕ 2. Уравнения плоскости в пространстве.

ЗАНЯТИЕ 3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

ЗАНЯТИЕ 4. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Приведение квадратичных форм к главным осям. Выдача КР 2.

ЗАНЯТИЕ 5. Эллипс, гипербола и парабола. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

ЗАНЯТИЕ 6. Контрольная работа "Аналитическая геометрия".

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 7. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 8. Комплексные числа. Интегрирование рациональных дробей.

ЗАНЯТИЕ 9. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

ЗАНЯТИЕ 10. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

ЗАНЯТИЕ 11. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 12. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длин дуг и объемов тел.

ЗАНЯТИЕ 13. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Прием КР 2.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАНЯТИЕ 14. Функции нескольких переменных. Область определения. Вычисление частных производных первого и второго порядка. Вычисление дифференциалов.

ЗАНЯТИЕ 15. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная плоскость, нормаль к поверхности. Производная по направлению, градиент.

ЗАНЯТИЕ 16. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Контрольная работа "Функции нескольких переменных".

Лекции

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

ЛЕКЦИЯ 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, "однородных", линейных и сводящихся к ним).

ЛЕКЦИЯ 3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка.

ЛЕКЦИЯ 4. Линеаризация дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения, свойства их решений. Свойства решений неоднородных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 5. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения.

ЛЕКЦИЯ 6. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения.

ЛЕКЦИЯ 7. Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).

ЛЕКЦИЯ 8. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод итерации для решения задачи Коши.

ЛЕКЦИЯ 9. Линеаризация систем дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Общее решение однородной и неоднородной системы. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения.

ЛЕКЦИЯ 10. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

ЛЕКЦИЯ 11. Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем. Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

ЛЕКЦИЯ 12. Условия устойчивости точки покоя. Понятие о функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Исследование устойчивости по первому приближению.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ЛЕКЦИЯ 13. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла.

ЛЕКЦИЯ 14. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

ЛЕКЦИЯ 15. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.

ЛЕКЦИИ 16-17. Криволинейные интегралы первого рода и второго рода, их свойства и вычисление.

ЛЕКЦИЯ 18. Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина.

ЛЕКЦИЯ 19. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства, геометрический и механический смысл. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

ЛЕКЦИЯ 20. Ориентация поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства, физический смысл и вычисление. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ 21. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

ЛЕКЦИЯ 22. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее свойства, инвариантное определение и физический смысл.

ЛЕКЦИЯ 23. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его свойства, инвариантное определение и физический смысл.

ЛЕКЦИЯ 24. Оператор Гамильтона, его использование и свойства. Потенциальные векторные поля, условие потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Соленоидальные и гармонические векторные поля.

Практика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАНЯТИЕ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

ЗАНЯТИЕ 2. "Однородные" дифференциальные уравнения первого порядка и сводящиеся к ним. Выдача КР 3.

ЗАНЯТИЕ 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

ЗАНЯТИЕ 4. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка.

ЗАНЯТИЕ 5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

ЗАНЯТИЕ 6. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.

ЗАНЯТИЕ 7. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 8. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 9. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

ЗАНЯТИЕ 10. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 11. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений.

ЗАНЯТИЕ 12. Фазовая плоскость, точки покоя. Устойчивость.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ЗАНЯТИЕ 13. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

ЗАНЯТИЕ 14. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

ЗАНЯТИЕ 15. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

ЗАНЯТИЕ 16. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

ЗАНЯТИЕ 17. Приложения кратных интегралов.

ЗАНЯТИЕ 18. Вычисление криволинейных интегралов первого рода.

ЗАНЯТИЕ 19. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Формула Грина.

ЗАНЯТИЯ 20-21. Вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода.

ЗАНЯТИЕ 22. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Вычисление дивергенции.

ЗАНЯТИЕ 23. Применение формулы Стокса. Вычисление ротора.

ЗАНЯТИЕ 24. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Прием КР 3.

Лекции

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЛЕКЦИЯ 1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Бесконечная геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.

ЛЕКЦИЯ 2. Признак сходимости Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости.

ЛЕКЦИЯ 3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Применение признаков сравнения, Даламбера и Коши к знакопеременным рядам.

ЛЕКЦИЯ 4. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

ЛЕКЦИЯ 5. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.

ЛЕКЦИЯ 6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Формулы для вычисления радиуса сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

ЛЕКЦИЯ 7. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 8. Скалярное произведение функций, ортогональные системы функций, норма функции. Разложение функции по ортогональной системе. Тригонометрическая система функций на отрезке , ее ортогональность. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. Теорема Дирихле.

ЛЕКЦИЯ 9. Ряд Фурье на отрезке . Разложение четных и нечетных функций. Ортогональные системы и ряды Фурье на отрезках и . Примеры.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 10. Оригинал и изображение по Лапласу. Примеры. Преобразование Лапласа, его свойства: линейность, теорема подобия, теорема смещения, взаимная однозначность, теорема о дифференцировании изображения, теорема запаздывания.

ЛЕКЦИЯ 11. Изображение некоторых элементарных функций. Изображение периодических функций. Изображение производной и интеграла. Операция свертки, ее свойства. Изображение свертки двух оригиналов.

ЛЕКЦИЯ 12. Интегрирование изображения. Восстановление оригинала по изображению для рациональных функций. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 13. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Основные формулы комбинаторики.

ЛЕКЦИЯ 14. Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей. Противоположные события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности.

ЛЕКЦИЯ 15. Формула Байеса. Схема и формула Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.

ЛЕКЦИИ 16-17. Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины, их взаимосвязь и свойства. Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, моменты.

ЛЕКЦИЯ 18. Равномерное и нормальное распределения, их свойства. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Правило трех сигм.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЛЕКЦИЯ 19. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированная выборка. Группированный статистический ряд. Выборочная функция распределения и гистограмма. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, оценки дисперсии, начальных и центральных моментов.

ЛЕКЦИЯ 20. Основные свойства статистических оценок параметров распределения: несмещенность, состоятельность, эффективность. Асимптотически несмещенные оценки. Методы построения оценок. Интервальное оценивание неизвестных параметров. Построение доверительных интервалов.

ЛЕКЦИЯ 21. Статистическая проверка гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы, ошибок первого и второго рода, статистического критерия. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о виде распределения.

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ЛЕКЦИЯ 22. Дифференциальные уравнения в частных производных, основные понятия. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности, уравнения Лапласа и волнового уравнения.

ЛЕКЦИЯ 23. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

ЛЕКЦИЯ 24. Распространение тепла в пространстве. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для простейших областей.

Практика

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЗАНЯТИЕ 1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения и признак Даламбера.

ЗАНЯТИЕ 2. Радикальный признак Коши и интегральный признак сходимости. Исследование сходимости рядов с положительными членами.

ЗАНЯТИЕ 3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

ЗАНЯТИЕ 4. Исследование функциональных рядов на сходимость. Область сходимости. Абсолютная сходимость.

ЗАНЯТИЕ 5. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Исследование сходимости и равномерной сходимости степенных рядов.

ЗАНЯТИЕ 6. Разложение функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЗАНЯТИЯ 7-8. Разложение функций в ряды Фурье.

ЗАНЯТИЕ 9. Контрольная работа "Числовые и функциональные ряды".

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 10. Преобразование Лапласа, его свойства. Нахождение оригиналов и изображений.

ЗАНЯТИЯ 11-12. Решение дифференциальных уравнений и их систем операционным методом.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАНЯТИЕ 13. Алгебра случайных событий. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрические вероятности.

ЗАНЯТИЕ 14. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

ЗАНЯТИЕ 15. Формула Байеса. Формулы Бернулли и Пуассона.

ЗАНЯТИЕ 16. Закон распределения дискретных случайных величин. Многоугольник распределения. Функция распределения. Плотность распределения. Равномерное и нормальное распределения.

ЗАНЯТИЕ 17. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Контрольная работа "Элементарная теория вероятностей".

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЗАНЯТИЕ 18. Построение выборочной функции распределения и гистограммы. Выдача КР 4.

ЗАНЯТИЕ 19. Оценки неизвестных параметров.

ЗАНЯТИЕ 20. Доверительные интервалы.

ЗАНЯТИЕ 21. Применение критериев согласия.

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ЗАНЯТИЕ 22. Уравнения теплопроводности и диффузии.

ЗАНЯТИЕ 23. Уравнения Лапласа и Пуассона. Задача Дирихле для прямоугольника и круга.

ЗАНЯТИЕ 24. Уравнения колебаний струны и мембраны. Прием КР 4.

Курсовые работы

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

1 СЕМЕСТР

КР 1. Пределы и дифференцирование. Исследование функций и построение графиков. [18], гл. I, задачи 3, 6, 9-12, 14-16, 18, 20; гл. II, задачи 1-2, 4-15, 17-19; гл. III, задачи 1-3, 5-10.

Цель задания - освоение студентами приемов применения методов дифференциального исчисления и теории пределов к графическому выражению аналитических зависимостей.

2 СЕМЕСТР

КР 2. Линейная алгебра. Вычисление интегралов. [18], гл. X, задачи 9-12; гл. IV, задачи 1-7, 9-11, 13-19, 21.

Цель задания - освоение студентами методики применения методов линейной алгебры и теории интегралов к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

3 СЕМЕСТР

КР 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы, векторный анализ. [18], гл. V, задачи 1-6, 10-16; гл. VII, задачи 1-6, 9?13, 15, гл. VIII, задачи 1, 2, 4, 6-11.

Цель задания - освоение студентами методики применения дифференциальных уравнений, кратных интегралов и векторного анализа к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

4 СЕМЕСТР

КР 4. Статистическая обработка результатов измерений. [10], занятие 14 и приложение.

Суть курсовой работы - каждому студенту предлагается статистически обработать один из вариантов статистических данных, то есть определить закон распределения случайной величины, значения которой получены эмпирическим путем. Для решения этой задачи студентам необходимо выполнить следующие действия:

* Определение закона распределения случайной величины по статистическим данным.

* Нахождение неизвестных параметров распределения с последующей оценкой их достоверности.

* Проверка правдоподобия гипотез, то есть, согласуется ли результат эксперимента с гипотезой о том, что данная величина подчинена тому или иному закону распределения.

Рекомендуемая литература

1. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математического анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме "Предел функции. Непрерывность". М., МАТИ, 1999.

2. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математического анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме "Дифференцирование функций". М., МАТИ, 1999.

3. Амукова Н.П., Гуторина Т.А., Селиванов Ю.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Методические указания к домашнему заданию по высшей математике. М., МАТИ, 1989.

4. Асеев В.М., Горбацевич В.В., Осипенко К.Ю. Методическое пособие по курсу "Уравнения с частными производными". Части 1-5. М., МАТИ, 1983-1984.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука, 1985.

8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. М., Наука, 1982.

9. Вергасов В.А., Гусев Е.В., Макаров Г.Д. Уравнения математической физики. Методические указания к практическим занятиям по курсу "Высшая математика". М., МАТИ, 1987.

10. Выск Н.Д., Селиванов Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания к проведению практических занятий. М., МАТИ, 2001.

11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1998.

12. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977.

13. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Части 1, 2. М.., Высшая школа, 1980.

14. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1999.

15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., Наука, 1983.

16. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1982.

17. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М., Высшая школа, 1994.

18. Осипенко К. Ю. Квадратурные формулы. Методические указания по курсу "Численные методы". М., МАТИ, 1995.

19. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.

20. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1995.

21. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А.В. Ефимова. М., Наука, 1984.

22. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. Под ред. А.В. Ефимова. М., Наука, 1990.

23. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М., Наука, 1980.

24. Титаренко В.И. Аналитическая геометрия. Графики функций. Методические указания к выполнению курсового задания студентами 1 курса по системе РИТМ. М., МАТИ, 1991.

25. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1993.

26. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М., Мир, 1985.

27. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1988.