МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

По данному запросу не найдено записей!

» Версия для печати

Лекции

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛЕКЦИЯ 1. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

ЛЕКЦИЯ 2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.

ЛЕКЦИЯ 3. Операции над матрицами, их свойства. Обратная матрица, ее вычисление. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 5. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.

ЛЕКЦИЯ 6. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

ЛЕКЦИЯ 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

ЛЕКЦИЯ 8. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

ЛЕКЦИЯ 9. Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

ЛЕКЦИЯ 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

ЛЕКЦИЯ 11. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

ЛЕКЦИЯ 12. Классификация кривых второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 13. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Предел функции в точке. Свойства предела. Первый замечательный предел, некоторые его обобщения и следствия.

ЛЕКЦИЯ 14. Бесконечно малые функции и их свойства. Односторонние пределы, предел на бесконечности. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Второй замечательный предел и его следствия. Натуральный логарифм и гиперболические функции. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.

ЛЕКЦИЯ 15. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций.

ЛЕКЦИЯ 16. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 17. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Дифференцируемость функции, её связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Линеаризация функции.

ЛЕКЦИЯ 18. Свойства производной (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Таблица производных, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

ЛЕКЦИЯ 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

ЛЕКЦИЯ 20. Теоремы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

ЛЕКЦИЯ 21. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

ЛЕКЦИЯ 22. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

ЛЕКЦИИ 23-24. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Практика

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЗАНЯТИЕ 1. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Вычисление определителей с помощью их свойств.

ЗАНЯТИЕ 2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.

ЗАНЯТИЕ 3. Операции над матрицами. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

ЗАНЯТИЕ 4. Нахождение ранга матрицы. Нахождение общих решений однородных и неоднородных систем.

ЗАНЯТИЕ 5. Векторы. Действия над векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

ЗАНЯТИЕ 6. Векторное и смешанное произведения векторов.

ЗАНЯТИЕ 7. Прямая на плоскости.

ЗАНЯТИЕ 8. Уравнения плоскости в пространстве.

ЗАНЯТИЕ 9. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

ЗАНЯТИЕ 10. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Контрольная работа "Системы линейных уравнений и аналитическая геометрия".

ЗАНЯТИЕ 11. Приведение квадратичных форм к главным осям.

ЗАНЯТИЕ 12. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола.

ЗАНЯТИЕ 13. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЗАНЯТИЕ 14. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления пределов. Выдача КР 1.

ЗАНЯТИЕ 15. Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов.

ЗАНЯТИЕ 16. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечные малые. Применение эквивалентных бесконечных малых к вычислению пределов.

ЗАНЯТИЕ 17. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 18. Производная функции. Таблица производных. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные обратных функций. Логарифмическое дифференцирование.

ЗАНЯТИЕ 19. Производные высших порядков. Производные неявных и параметрически заданных функций.

ЗАНЯТИЕ 20. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

ЗАНЯТИЕ 21. Формула Тейлора, ее применение в приближенных вычислениях и при вычислении пределов.

ЗАНЯТИЯ 22-23. Исследование функций и построение графиков.

ЗАНЯТИЕ 24. Построение графиков функций, заданных параметрически и в полярной системе координат. Прием КР 1.

Лекции

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЛЕКЦИЯ 1. Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

ЛЕКЦИИ 2-3. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

ЛЕКЦИЯ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

ЛЕКЦИЯ 5. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 6. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

ЛЕКЦИЯ 7. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Показательная функция комплексного аргумента. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

ЛЕКЦИЯ 8. Многочлены и их корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел. Простые и кратные корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Деление многочленов, выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

ЛЕКЦИЯ 9. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

ЛЕКЦИЯ 10. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.

ЛЕКЦИЯ 11. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Интегрируемость непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных ограниченных функций.

ЛЕКЦИЯ 12. Теорема о среднем значении для определенного интеграла. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

ЛЕКЦИЯ 13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

ЛЕКЦИЯ 14. Площадь в полярных координатах. Длина дуги кривой и ее вычисление. Вычисление объемов тел.

ЛЕКЦИЯ 15. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Несобственные интегралы от неограниченных функций, исследование их сходимости.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 16. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

ЛЕКЦИЯ 17. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, "однородных", линейных и сводящихся к ним).

ЛЕКЦИЯ 18. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка.

ЛЕКЦИЯ 19. Линеаризация дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения, свойства их решений. Свойства решений неоднородных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 20. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения.

ЛЕКЦИЯ 21. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения.

ЛЕКЦИЯ 22. Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).

ЛЕКЦИЯ 23. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

ЛЕКЦИЯ 24. Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем. Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Условия устойчивости точки покоя.

Практика

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАНЯТИЕ 1. Функции нескольких переменных. Область определения. Вычисление частных производных первого и второго порядка. Вычисление дифференциалов.

ЗАНЯТИЕ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная плоскость, нормаль к поверхности. Производная по направлению, градиент.

ЗАНЯТИЕ 3. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Контрольная работа "Функции нескольких переменных".

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 4. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Выдача КР 2.

ЗАНЯТИЕ 5. Комплексные числа. Интегрирование рациональных дробей.

ЗАНЯТИЕ 6. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

ЗАНЯТИЕ 7. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

ЗАНЯТИЕ 8. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 9. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длин дуг и объемов тел.

ЗАНЯТИЕ 10. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАНЯТИЕ 11. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, "однородные" и сводящиеся к ним.

ЗАНЯТИЕ 12. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

ЗАНЯТИЕ 13. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

ЗАНЯТИЕ 14. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 15. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 16. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Прием КР 2.

Лекции



ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЛЕКЦИЯ 1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Примеры. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости.

ЛЕКЦИЯ 2. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости.

ЛЕКЦИЯ 3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

ЛЕКЦИЯ 4. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.

ЛЕКЦИЯ 5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

ЛЕКЦИЯ 6. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ЛЕКЦИЯ 7. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла.

ЛЕКЦИЯ 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

ЛЕКЦИЯ 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.

ЛЕКЦИИ 10-11. Криволинейные интегралы первого рода и второго рода, их свойства и вычисление. Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина.

ЛЕКЦИЯ 12. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства, геометрический и физический смысл. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

ЛЕКЦИЯ 13. Ориентация поверхности. Поток векторного поля. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства, физический смысл и вычисление. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ 14. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

ЛЕКЦИЯ 15. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее свойства, инвариантное определение и физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его свойства, инвариантное определение и физический смысл.

ЛЕКЦИЯ 16. Оператор Гамильтона, его использование и свойства. Потенциальные векторные поля, условие потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Соленоидальные и гармонические векторные поля.

Практика

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЗАНЯТИЕ 1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения.

ЗАНЯТИЕ 2. Признак Даламбера, радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости. Выдача КР 3.

ЗАНЯТИЕ 3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

ЗАНЯТИЕ 4. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

ЗАНЯТИЕ 5. Исследование сходимости и равномерной сходимости степенных рядов.

ЗАНЯТИЕ 6. Разложение функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ЗАНЯТИЕ 7. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

ЗАНЯТИЕ 8. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

ЗАНЯТИЕ 9. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

ЗАНЯТИЕ 10. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

ЗАНЯТИЕ 11. Приложения кратных интегралов.

ЗАНЯТИЕ 12. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Формула Грина.

ЗАНЯТИЕ 13. Вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода.

ЗАНЯТИЕ 14. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Вычисление дивергенции.

ЗАНЯТИЕ 15. Применение формулы Стокса. Вычисление ротора.

ЗАНЯТИЕ 16. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Прием КР 3.

Лекции

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

ЛЕКЦИЯ 2. Геометрические вероятности. Основные свойства вероятности. Теорема сложения вероятностей. Противоположные события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.

ЛЕКЦИЯ 3. Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема и формула Бернулли. Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

ЛЕКЦИЯ 4. Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.

ЛЕКЦИЯ 5. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины, их взаимосвязь и свойства. Равномерное распределение вероятностей.

ЛЕКЦИЯ 6. Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая. Функция Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм. Показательное распределение. Функция надежности. Показательный закон надежности.

ЛЕКЦИЯ 7. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.

ЛЕКЦИЯ 8. Случайные векторы (системы нескольких случайных величин). Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины. Равномерное распределение на плоскости.

ЛЕКЦИЯ 9. Некоторые числовые характеристики одномерных случайных величин: начальные и центральные моменты, мода, медиана, квантиль, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Числовые характеристики двумерных случайных величин: начальные и центральные моменты. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость случайных величин.

ЛЕКЦИЯ 10. Функции от случайных величин. Функция одного случайного аргумента, ее распределение и математическое ожидание. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения.

ЛЕКЦИЯ 11. Нормальный закон распределения на плоскости. Линейная регрессия. Линейная корреляция.

ЛЕКЦИЯ 12. Распределения "хи квадрат", Стьюдента и Фишера. Связь этих распределений с нормальным распределением.

ЛЕКЦИЯ 13. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.

ЛЕКЦИЯ 14. Центральная предельная теорема Ляпунова. Предельная теорема Муавра-Лапласа.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЛЕКЦИЯ 15. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированная выборка. Группированный статистический ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

ЛЕКЦИЯ 16. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, оценки дисперсии, оценки моды и медианы, оценки начальных и центральных моментов. Статистическое описание и вычисление оценок параметров распределения двумерного случайного вектора.

ЛЕКЦИЯ 17. Основные свойства статистических оценок параметров распределения: несмещенность, состоятельность, эффективность. Несмещенность и состоятельность выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещенность выборочной дисперсии. Пример несмещенной оценки дисперсии. Асимптотически несмещенные оценки. Способы построения оценок: метод наибольшего правдоподобия, метод моментов, метод квантили, метод наименьших квадратов, байесовский подход к получению оценок.

ЛЕКЦИЯ 18. Интервальное оценивание неизвестных параметров. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при известной и при неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.

ЛЕКЦИЯ 19. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго рода, уровня значимости, статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критические точки. Мощность критерия. Критерии для проверки гипотез о вероятности события, о математическом ожидании, о сравнении двух дисперсий.

ЛЕКЦИЯ 20. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Проверка гипотез о нормальном, показательном и равномерном распределениях по критерию Пирсона. Критерий Колмогорова. Приближенный метод проверки нормальности распределения, связанный с оценками коэффициентов асимметрии и эксцесса.

ЛЕКЦИЯ 21. Корреляционный анализ.

ЛЕКЦИЯ 22. Регрессионный анализ.

ЛЕКЦИЯ 23. Однофакторный дисперсионный анализ.

ЛЕКЦИЯ 24. Моделирование случайных величин методом Монте-Карло (статистических испытаний).

Практика

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАНЯТИЕ 1. Алгебра случайных событий. Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности. Элементы комбинаторики.

ЗАНЯТИЕ 2. Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей.

ЗАНЯТИЕ 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

ЗАНЯТИЕ 4. Формула Байеса. Формулы Бернулли и Пуассона.

ЗАНЯТИЕ 5. Контрольная работа "Элементарная теория вероятностей".

ЗАНЯТИЕ 6. Закон распределения дискретных случайных величин. Многоугольник распределения. Функция распределения. Плотность распределения.

ЗАНЯТИЕ 7. Равномерное и нормальное распределения.

ЗАНЯТИЕ 8. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

ЗАНЯТИЕ 9. Двумерные случайные величины.

ЗАНЯТИЕ 10. Числовые характеристики случайных векторов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЗАНЯТИЕ 11. Построение выборочной функции распределения и гистограммы. Выдача КР 4.

ЗАНЯТИЕ 12. Оценки неизвестных параметров.

ЗАНЯТИЕ 13. Доверительные интервалы.

ЗАНЯТИЕ 14. Применение критериев согласия.

ЗАНЯТИЕ 15. Корреляционный и регрессионный анализ.

ЗАНЯТИЕ 16. Дисперсионный анализ. Прием КР 4.

Курсовые работы

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

1 СЕМЕСТР

КР 1. Пределы и дифференцирование. Исследование функций и построение графиков. [15], гл. I, задачи 3, 6, 9-12, 14-16, 18, 20; гл. II, задачи 1-2, 4-15, 17-19; гл. III, задачи 1-3, 5-10.

Цель задания - освоение студентами приемов применения методов дифференциального исчисления и теории пределов к графическому выражению аналитических зависимостей.

2 СЕМЕСТР

КР 2. Вычисление интегралов. Дифференциальные уравнения. [15], гл. IV, задачи 1-7, 9-11, 13-19, 21; гл. V, задачи 1-6, 10-16.

Цель задания - освоение студентами методики применения интегралов и дифференциальных уравнений к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

3 СЕМЕСТР

КР 3. Кратные интегралы, векторный анализ. Ряды. [15], гл. VII, задачи 1-6, 9-13, 15, гл. VIII, задачи 1, 2, 4, 6-11; гл. VI, задачи 1-7, 9-15.

Цель задания - освоение студентами методики применения теории кратных интегралов, векторного анализа и теории рядов к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

4 СЕМЕСТР

КР 4. Статистическая обработка результатов измерений. [8], занятие 14 и приложение.

Суть курсовой работы - каждому студенту предлагается статистически обработать один из вариантов статистических данных, то есть определить закон распределения случайной величины, значения которой получены эмпирическим путем. Для решения этой задачи студентам необходимо выполнить следующие действия:

* Определение закона распределения случайной величины по статистическим данным.

* Нахождение неизвестных параметров распределения с последующей оценкой их достоверности.

* Проверка правдоподобия гипотез, то есть, согласуется ли результат эксперимента с гипотезой о том, что данная величина подчинена тому или иному закону распределения.

Рекомендуемая литература

1. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математического анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме "Предел функции. Непрерывность". М., МАТИ, 1999.

2. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математического анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме "Дифференцирование функций". М., МАТИ, 1999.

3. Амукова Н.П., Гуторина Т.А., Селиванов Ю.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Методические указания к домашнему заданию по высшей математике. М., МАТИ, 1989.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука, 1985.

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. М., Наука, 1982.

8. Выск Н.Д., Селиванов Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания к проведению практических занятий. М., МАТИ, 2001.

9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1998.

10. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977.

11. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Части 1, 2. М.., Высшая школа, 1980.

12. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1999.

13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., Наука, 1983.

14. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1982.

15. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М., Высшая школа, 1994.

16. Осипенко К. Ю. Квадратурные формулы. Методические указания по курсу "Численные методы". М., МАТИ, 1995.

17. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.

18. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1995.

19. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А.В. Ефимова. М., Наука, 1984.

20. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М., Наука, 1980.

21. Титаренко В.И. Аналитическая геометрия. Графики функций. Методические указания к выполнению курсового задания студентами 1 курса по системе РИТМ. М., МАТИ, 1991.

22. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1988.