МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

По данному запросу не найдено записей!

» Версия для печати

Лекции

Лекция 1. Матрицы, определители и их свойства. Операции над матрицами. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Лекция 2. Обратная матрица и ее применение к решению систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Свободные и зависимые переменные.

Лекция 3. Векторы. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление угла между векторами.

Лекция 4. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Условия компланарности 3-х векторов.

Лекция 5. Уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения и условия взаимной перпендикулярности и параллельности.

Лекция 6. Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).Канонический вид поверхностей 2-го порядка в пространстве.Обзор.

Практика

Занятие 1. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Занятие 2-4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

Занятие 5-7. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Деление отрезка в заданном отношении. Направляющие косинусы. Скалярное произведение векторов.

Занятие 8-9. Векторное и смешанное произведения векторов.

Занятие 10-11. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве.

Занятие 12. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка.

Лекции

Лекция 1. Функция, область определения, график. Обратная и сложная функции. Основные элементарные функции. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь предела с бесконечно малой функцией.

Лекция 2. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах.

Лекция 3. Первый и второй замечательные пределы. Число "е", натуральный логарифм. Сравнение бесконечно малых функций.

Лекция 4. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции. Уравнение касательной к кривой.

Лекция 5. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Дифференциал и его применение в приближенных вычислениях. Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.

Лекция 6. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Признаки монотонности и экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций на отрезке. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. Асимптоты кривых.

Лекция 7. Общая схема исследования функций и построения графиков. Функции нескольких переменных. Область определения, предел и непрерывность функций нескольких переменных.

Лекция 8. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Полная производная. Экстремум функций нескольких переменных. Обзор.

Практика

Занятие 1. Область определения, четность, нечетность функции. Сложная и обратная функции.

Занятие 2. Пределы функций. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции.

Занятие 3-4. Табличное дифференцирование. Производные сложных функций.

Занятие 5-7.Логарифмическое дифференцирование. Производные неявных и параметрически заданных функций. Уравнения касательной и нормали.

Занятие 8. Дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

Занятие 9. Производные и дифференциалы высших порядков.

Занятие 10-11. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Занятие 12-13.Исследование функций и построение их графиков.

Занятие 14-15. Область определения функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Производные сложных и неявных функций.

Занятие 16. Производные высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Обзор.

Лекции

Лекция 1. Первообразные, их общий вид. Неопределенный интеграл, его простейшие свойства. Таблица основных интегралов. Основные правила интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.

Лекция 2. Интегрирование тригонометрических выражений. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа.

Лекция 3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Основные операции над комплексными числами, их свойства.

Лекция 4. Формулы Муавра, Эйлера, показательная форма записи комплексных чисел. Многочлены, их корни. Деление многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.

Лекция 5. Разложение многочлена на неприводимые множители. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби на простейшие.

Лекция 6. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных и квадратичных иррациональностей.

Лекция 7. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Разбиение отрезка. Интегральная сумма. Определенный интеграл, его геометрический и физический смысл. Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Лекция 8. Замена переменной. Подведение под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла (вычисление площади фигуры и длины плоской кривой в прямоугольных и полярных координатах, объема тела вращения, приложения к физике).

Лекция 9. Вычисления определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и парабол. Несобственные интегралы двух типов.

Лекция 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. Задача Коши.

Лекция 11. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Лекция 12. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли.

Лекция 13. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Лекция 14. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка.

Лекция 15. Линейные дифференциальные уравнения 2-го (и выше) порядка с переменными коэффициентами. Структура общего решения однородного уравнения. Теорема об общем решении неоднородного уравнения.

Лекция 16-17. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го (и выше) порядка с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Лекция 18. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с правой частью неспециального вида.

Лекция 19. Решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от специального вида правой части уравнения.

Лекция 20 Метод итераций и численные методы решения дифференциальных уравнений.

Лекция 21 Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекция 22. Определение двойного и тройного интегралов, их свойства. Основные теоремы

Лекция 23. Замена переменных в кратных интегралах. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Переход к ним в кратных интегралах.

Лекция 24. Приложение кратных интегралов к геометрии и к физике. Обзор.

Практика

Занятие 1. Вычисление неопределенных интегралов с применением основных формул и правил интегрирования. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Интегрирование тригонометрических выражений.

Занятие 2. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование иррациональных функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Занятие 3. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Занятие 4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения 1-го порядка.

Занятие 5. Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Занятие 6. Уравнения высших порядков. Методы понижения порядка.

Занятие 7. Линейные однородные уравнения 2-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

Занятие 8. Решение неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора частного решения для различных видов специальных правых частей уравнений.

Занятие 9. Решение линейных систем дифференциальных уравнений.

Занятие 10-11. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Изменение порядка интегрирования. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Занятие 12-13. Вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Занятие 14-15. Приложения кратных интегралов к геометрии и физике.

Занятие 16. Обзорное занятие.

Лекции

Лекция 1. Скалярные и векторные поля. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.

Лекция 2. Циркуляция векторного поля. Вычисление циркуляции. Формула Грина.

Лекция 3. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.

Лекция 4. Теорема Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.

Лекция 5. Элементы теории поля. Соленоидальные, гармонические, потенциальные поля.

Лекция 6. Оператор Гамильтона и его свойства. Представление градиента скалярной функции, ротора и дивергенции векторной функции через оператор Гамильтона.

Лекция 7. Числовой ряд и его сумма. Простейшие свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения, Даламбера и Коши.

Лекция 8. Интегральный признак. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Лекция 9. Функциональный ряд, область сходимости. Мажорируемые ряды. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

Лекция 10. Степенной ряд, его радиус и область сходимости. Основные свойства степенных рядов.

Лекция 11. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение функций ехр(х), sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)**a. Применение рядов в приближенных вычислениях. Ряды Фурье.

Лекция 12. Оригинал и изображение по Лапласу. Свойства преобразования Лапласа. Теоремы подобия, смещения, запаздывания, о дифференцировании изображения.

Лекция 13. Свертка двух оригиналов. Изображение свертки. Интегрирование оригинала и изображения. Изображение некоторых элементарных функций.

Лекция 14. Восстановление оригинала по изображению для рациональных функций. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекция 15. Случайные события. Вероятность события, её свойства. Классическое определение вероятности. Условные вероятности. Аксиомы теории вероятностей.

Лекция 16. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 17. Элементы комбинаторики. Схема Бернулли. Формулы Бернулли. Асимптотические формулы в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа. Формула Пуассона.

Лекция 18. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины. Плотность вероятности и её свойства.

Лекция 19. Равномерное и нормальное распределения. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Примеры вычисления.

Лекция 20. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.

Лекция 21-22. Предмет математической статистики. Точечные оценки. Методы оценивания. Интервальные оценки. Доверительные интервалы.

Лекция 23. Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.

Лекция 24. Обзорная лекция.

Практика

Занятие 1. Вычисление криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода. Формула Грина.

Занятие 2. Вычисление поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода. Вычисление интегралов по формулам Стокса и Гаусса - Остроградского.

Занятие 3. Применение оператора Гамильтона к вычислению градиента, дивергенции и ротора функции.

Занятие 4. Исследование сходимости числового ряда (по определению, необходимый признак, признак сравнения). Применение признаков Даламбера, Коши - радикального и интегрального.

Занятие 5. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Занятие 6. Нахождение области сходимости, интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Разложение функций в степенные ряды

Занятие 7. Приложения степенных рядов. . Ряд Фурье на отрезке [-п, п]. Вычисление коэффициентов Фурье. Разложение функций в ряд Фурье на отрезках [-l,l] и [0,l].

Занятие 8. Вычисление изображений по Лапласу. Дифференцирование изображения. Изображение производной и интеграла. Изображение некоторых элементарных функций. Свертка двух оригиналов. Изображение свертки. Интегрирование изображения.

Занятие 9. Восстановление оригинала по изображению для рациональных функций. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Занятие 10. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей.

Занятие 11. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Занятие 12. Формула Бернулли и формула Пуассона.

Занятие 13. Дискретная случайная величина, ее закон распределения и числовые характеристики.

Занятие 14. Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики.

Занятие 15. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Вероятность попадания в интервал.

Занятие 16. Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона. Обзор.

Курсовые работы

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

1 СЕМЕСТР

1) Линейная алгебра.

2) Аналитическая геометрия.

2 СЕМЕСТР

1) Пределы, производные. Исследование функций и построение графиков.

2) Исследование функций и построение графиков.

3 СЕМЕСТР

1) Вычисление интегралов.

2) Обыкновенные дифференциальные уравнения.

4 СЕМЕСТР

1) Числовые и функциональные ряды. Операционное исчисление.

2) Теория вероятностей.

Рекомендуемая литература

1. Сборник задач по математике для втузов. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа (под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича). М., Наука, 1993.

2. Сборник задач по математике для втузов. Часть 2. Специальные разделы математического анализа (под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича). М., Наука, 1993.

3. Сборник задач по математике для втузов. Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика (под ред. А.В. Ефимова). М., Наука, 1993.

4. Сборник задач по математике для втузов. Часть 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения (под ред. А.В. Ефимова). М., Наука, 1993.

5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. М., Наука, 1981.

6. Чудесенко В.Ф. Сборник задач по специальным курсам высшей математики. М., Высш. школа, 1983.

7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М., Высш. школа, 1994.

8. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Высш. школа, 1978.

9. Бугров Я.С. , Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.

11. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука, 1985.

12. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высш. школа, 2001.

13. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 1984.

14. Берман Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.

15. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высш. школа, 2001.