МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

По данному запросу не найдено записей!

» Версия для печати

Лекции

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 1. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства предела. Односторонние пределы. Предел числовой последовательности. Замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 2. Натуральный логарифм и гиперболические функции. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.

ЛЕКЦИЯ 3. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функций и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 4. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Дифференцируемость функции, её связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Линеаризация функции.

ЛЕКЦИЯ 5. Свойства производной (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Таблица производных, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

ЛЕКЦИЯ 6. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

ЛЕКЦИЯ 7. Теоремы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

ЛЕКЦИЯ 8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия возрастания и убывания функции.

ЛЕКЦИИ 9-10. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛЕКЦИЯ 11. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

ЛЕКЦИЯ 12. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.

ЛЕКЦИЯ 13. Операции над матрицами, их свойства. Обратная матрица, ее вычисление. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы.

ЛЕКЦИЯ 14. Ранг матрицы. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 15. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.

ЛЕКЦИЯ 16. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

Практика

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЗАНЯТИЕ 1. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления пределов.

ЗАНЯТИЕ 2. Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов.

ЗАНЯТИЕ 3. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечные малые. Применение эквивалентных бесконечных малых к вычислению пределов.

ЗАНЯТИЕ 4. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 5. Производная функции. Таблица производных. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.

ЗАНЯТИЕ 6. Производные обратных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Производные неявных и параметрически заданных функций.

ЗАНЯТИЕ 7. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

ЗАНЯТИЕ 8. Формула Тейлора, ее применение в приближенных вычислениях и при вычислении пределов. Контрольная работа " Пределы и дифференцирование".

ЗАНЯТИЯ 9-10. Исследование функций и построение графиков.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЗАНЯТИЕ 11. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Вычисление определителей с помощью их свойств.

ЗАНЯТИЕ 12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.

ЗАНЯТИЕ 13. Операции над матрицами. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

ЗАНЯТИЕ 14. Нахождение ранга матрицы. Нахождение общих решений однородных и неоднородных систем.

ЗАНЯТИЕ 15. Векторы. Действия над векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

ЗАНЯТИЕ 16. Векторное и смешанное произведения векторов. Контрольная работа "Системы линейных уравнений и векторная алгебра".

Лекции

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛЕКЦИЯ 1. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

ЛЕКЦИЯ 2. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

ЛЕКЦИЯ 3. Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

ЛЕКЦИЯ 4. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

ЛЕКЦИЯ 5. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

ЛЕКЦИЯ 6. Классификация кривых второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 7. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

ЛЕКЦИЯ 8. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Показательная функция комплексного аргумента. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

ЛЕКЦИЯ 9. Многочлены и их корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел. Простые и кратные корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Деление многочленов, выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

ЛЕКЦИЯ 10. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

ЛЕКЦИЯ 11. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.

ЛЕКЦИЯ 12. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Интегрируемость непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных ограниченных функций.

ЛЕКЦИЯ 13. Теорема о среднем значении для определенного интеграла. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

ЛЕКЦИЯ 14. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

ЛЕКЦИЯ 15. Площадь в полярных координатах. Длина дуги кривой и ее вычисление. Объем тела вращения. Приложения определенного интеграла к механике.

ЛЕКЦИЯ 16. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Несобственные интегралы от неограниченных функций, исследование их сходимости.

Практика

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЗАНЯТИЕ 1. Прямая на плоскости.

ЗАНЯТИЕ 2. Уравнения плоскости в пространстве.

ЗАНЯТИЕ 3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

ЗАНЯТИЕ 4. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Контрольная работа "Аналитическая геометрия".

ЗАНЯТИЕ 5. Приведение квадратичных форм к главным осям. Выдача КР 1.

ЗАНЯТИЕ 6. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола.

ЗАНЯТИЕ 7. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЯ 8-9. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 10. Комплексные числа. Интегрирование рациональных дробей.

ЗАНЯТИЕ 11. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

ЗАНЯТИЕ 12. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

ЗАНЯТИЕ 13. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 14. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур.

ЗАНЯТИЕ 15. Приложения определенного интеграла: вычисление длин дуг и объемов тел. Приложения к механике.

ЗАНЯТИЕ 16. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Прием КР 1.

Лекции

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЛЕКЦИЯ 1. Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

ЛЕКЦИИ 2-3. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

ЛЕКЦИЯ 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

ЛЕКЦИЯ 5. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 6. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

ЛЕКЦИЯ 7. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, "однородных", линейных и сводящихся к ним).

ЛЕКЦИЯ 8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка.

ЛЕКЦИЯ 9. Линеаризация дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения, свойства их решений. Свойства решений неоднородных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 10. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения.

ЛЕКЦИЯ 11. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения.

ЛЕКЦИЯ 12. Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).

ЛЕКЦИЯ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ЛЕКЦИЯ 14. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла.

ЛЕКЦИЯ 15. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

ЛЕКЦИЯ 16. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.

ЛЕКЦИИ 17-18. Криволинейные интегралы первого рода и второго рода, их свойства и вычисление.

ЛЕКЦИЯ 19. Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина.

ЛЕКЦИЯ 20. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства, геометрический и физический смысл. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

ЛЕКЦИЯ 21. Ориентация поверхности. Поток векторного поля. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства, физический смысл и вычисление. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ 22. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

ЛЕКЦИЯ 23. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее свойства, инвариантное определение и физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его свойства, инвариантное определение и физический смысл.

ЛЕКЦИЯ 24. Оператор Гамильтона, его использование и свойства. Потенциальные векторные поля, условие потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Соленоидальные и гармонические векторные поля.

Практика

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАНЯТИЕ 1. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня. Частные производные.

ЗАНЯТИЕ 2. Дифференциал функции, его применение к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.

ЗАНЯТИЕ 3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению, градиент.

ЗАНЯТИЕ 4. Экстремум функции нескольких переменных.

ЗАНЯТИЕ 5. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Контрольная работа "Функции нескольких переменных".

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАНЯТИЕ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Выдача КР 2.

ЗАНЯТИЕ 7. "Однородные" дифференциальные уравнения первого порядка и сводящиеся к ним.

ЗАНЯТИЕ 8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

ЗАНЯТИЕ 9. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

ЗАНЯТИЕ 10. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 11. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 12. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 13. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

ЗАНЯТИЕ 14. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

ЗАНЯТИЕ 15. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

ЗАНЯТИЕ 16. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

ЗАНЯТИЕ 17. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

ЗАНЯТИЕ 18. Приложения кратных интегралов.

ЗАНЯТИЕ 19. Вычисление криволинейных интегралов первого рода.

ЗАНЯТИЕ 20. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Формула Грина.

ЗАНЯТИЕ 21. Вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода.

ЗАНЯТИЕ 22. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Вычисление дивергенции.

ЗАНЯТИЕ 23. Применение формулы Стокса. Вычисление ротора.

ЗАНЯТИЕ 24. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. Прием КР 2.

Лекции

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЛЕКЦИЯ 1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Бесконечная геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда.

ЛЕКЦИЯ 2. Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости. Признаки сравнения.

ЛЕКЦИЯ 3. Признак сходимости Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости.

ЛЕКЦИЯ 4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Применение признаков сравнения, Даламбера и Коши к знакопеременным рядам.

ЛЕКЦИЯ 5. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

ЛЕКЦИЯ 6. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.

ЛЕКЦИЯ 7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Формулы для вычисления радиуса сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

ЛЕКЦИЯ 8. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.

ЛЕКЦИЯ 9. Умножение и деление степенных рядов. Подстановка одного ряда в другой. Применение степенных рядов для вычисления значений функций, вычисления интегралов, решения дифференциальных уравнений.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 10. Скалярное произведение функций, ортогональные системы функций, норма функции. Разложение функции по ортогональной системе. Тригонометрическая система функций на отрезке , ее ортогональность. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. Теорема Дирихле.

ЛЕКЦИЯ 11. Ряд Фурье на отрезке . Разложение четных и нечетных функций. Ортогональные системы и ряды Фурье на отрезках и . Примеры.

ЛЕКЦИЯ 12. Комплексная форма ряда Фурье. Понятие об интеграле Фурье.

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ЛЕКЦИЯ 13. Дифференциальные уравнения в частных производных, основные понятия. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности, уравнения Лапласа и волнового уравнения.

ЛЕКЦИЯ 14. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения теплопроводности.

ЛЕКЦИЯ 15. Распространение тепла в пространстве. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для простейших областей.

ЛЕКЦИЯ 16. Решение краевых задач для волнового уравнения.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 17. Примеры задач вариационного исчисления. Функционал, его вариация. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума.

ЛЕКЦИЯ 18. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Функционалы с производными высшего порядка.

ЛЕКЦИЯ 19. Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких функций. Функционалы от функций нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 20. Условный экстремум функционала. Изопериметрическая задача.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 21. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Основные формулы комбинаторики.

ЛЕКЦИЯ 22. Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей. Противоположные события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности.

ЛЕКЦИЯ 23. Формула Байеса. Схема и формула Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.

ЛЕКЦИИ 24-25. Случайные величины. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины, их взаимосвязь и свойства. Основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, моменты.

ЛЕКЦИЯ 26. Равномерное и нормальное распределения, их свойства. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Правило трех сигм.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЛЕКЦИЯ 27. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированная выборка. Группированный статистический ряд. Выборочная функция распределения и гистограмма. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, оценки дисперсии, начальных и центральных моментов.

ЛЕКЦИЯ 28. Основные свойства статистических оценок параметров распределения: несмещенность, состоятельность, эффективность. Асимптотически несмещенные оценки. Методы построения оценок.

ЛЕКЦИЯ 29. Интервальное оценивание неизвестных параметров. Построение доверительных интервалов.

ЛЕКЦИЯ 30. Статистическая проверка гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы, ошибок первого и второго рода, статистического критерия. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о виде распределения.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ЛЕКЦИЯ 31. Численные методы алгебры: решение нелинейных уравнений и систем методом Ньютона и методом простых итераций. Численные методы в теории приближений: интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, численное дифференцирование и интегрирование.

ЛЕКЦИЯ 32. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Практика

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЗАНЯТИЕ 1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения.

ЗАНЯТИЕ 2. Признак Даламбера и радикальный признак Коши.

ЗАНЯТИЕ 3. Интегральный признак Коши. Исследование сходимости рядов с положительными членами.

ЗАНЯТИЕ 4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

ЗАНЯТИЕ 5. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

ЗАНЯТИЕ 6. Исследование сходимости степенных рядов.

ЗАНЯТИЯ 7. Разложение функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЗАНЯТИЯ 8-9. Разложение функций в ряды Фурье. Контрольная работа "Числовые и функциональные ряды".

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ЗАНЯТИЕ 10. Приведение линейных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду.

ЗАНЯТИЕ 11. Уравнения теплопроводности и диффузии.

ЗАНЯТИЕ 12. Уравнения Лапласа и Пуассона. Задача Дирихле для прямоугольника и круга.

ЗАНЯТИЕ 13. Уравнения колебаний струны и мембраны.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 14. Вариационное исчисление. Уравнение Эйлера.

ЗАНЯТИЕ 15. Функционалы с производными высшего порядка. Решение уравнения Эйлера-Пуассона. Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких функций. Решение системы уравнений Эйлера.

ЗАНЯТИЕ 16. Задачи на условный экстремум.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАНЯТИЕ 17. Алгебра случайных событий. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Геометрические вероятности.

ЗАНЯТИЕ 18. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

ЗАНЯТИЕ 19. Формулы полной вероятности и Байеса. Формула Бернулли.

ЗАНЯТИЕ 20. Закон распределения дискретных случайных величин. Многоугольник распределения. Функция распределения. Плотность распределения. Равномерное и нормальное распределения.

ЗАНЯТИЕ 21. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Контрольная работа "Вариационное исчисление и теория вероятностей". Выдача КР 3.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЗАНЯТИЕ 22. Построение выборочной функции распределения и гистограммы.

ЗАНЯТИЕ 23. Оценки неизвестных параметров.

ЗАНЯТИЕ 24. Доверительные интервалы. Применение критериев согласия. Прием КР 3.

Курсовые работы

2 СЕМЕСТР

КР 1. Линейная алгебра. Вычисление интегралов. [7], гл. X, задачи 9-12; гл. IV, задачи 1-7, 9-11, 13-19, 21.

Цель задания - освоение студентами методики применения методов линейной алгебры и теории определенных интегралов к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

3 СЕМЕСТР

КР 2. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы и векторный анализ. [7], гл. V, задачи 1-6, 10-16; гл. VII, задачи 1-6, 9-13, 15; гл. VIII, задачи 1, 2, 4, 6-11.

Цель задания - освоение студентами методики применения дифференциальных уравнений, кратных интегралов и векторного анализа к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

4 СЕМЕСТР

КР 3. Статистическая обработка результатов измерений. [4], занятие 14 и приложение.

Суть курсовой работы - каждому студенту предлагается статистически обработать один из вариантов статистических данных, то есть определить закон распределения случайной величины, значения которой получены эмпирическим путем. Для решения этой задачи студентам необходимо выполнить следующие действия:

· Определение закона распределения случайной величины по статистическим данным.

· Нахождение неизвестных параметров распределения с последующей оценкой их достоверности.

· Проверка правдоподобия гипотез, то есть, согласуется ли результат эксперимента с гипотезой о том, что данная величина подчинена тому или иному закону распределения.

Рекомендуемая литература

Основная

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисле-ние. М., Наука, 1988.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные инте-гралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука, 1985.

4. Выск Н.Д., Селиванов Ю.В. Теория вероятностей и математическая статисти-ка. Методические указания к проведению практических занятий. М., МАТИ, 2001.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и мате-матической статистике. М., Высшая школа, 2003.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 2004.

7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М., Высшая школа, 1994.

8. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.

9. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 2. Специальные раз-делы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1995.

10. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А.В. Ефимова. М., Наука, 1984.

11. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Урав-нения в частных производных. Интегральные уравнения. Под ред. А.В. Ефимо-ва. М., Наука, 1990.

12. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Нау-ка, 1993.

13. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969.

Дополнительная

14. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математиче-ского анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме "Пре-дел функции. Непрерывность". М., МАТИ, 1999.

15. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математиче-ского анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме "Диф-ференцирование функций". М., МАТИ, 1999.

16. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М., Высшая школа, 1994.

17. Амукова Н.П., Гуторина Т.А., Селиванов Ю.В. Линейная алгебра и аналити-ческая геометрия на плоскости. Методические указания к домашнему заданию по высшей математике. М., МАТИ, 1989.

18. Асеев В.М., Горбацевич В.В., Осипенко К.Ю. Методическое пособие по кур-су "Уравнения с частными производными". Части 1-5. М., МАТИ, 1983-1984.

19. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М., Высшая школа, 2000.

20. Вергасов В.А., Выск Н.Д., Титаренко В.И. Вариационное исчисление. Мето-дические указания к практическим занятиям по курсу "Высшая математика". М., МАТИ, 1990.

21. Вергасов В.А., Гусев Е.В., Макаров Г.Д. Уравнения математической физики. Методические указания к практическим занятиям по курсу "Высшая математи-ка". М., МАТИ, 1987.

22. Выск Н.Д., Селиванов Ю.В., Титаренко В.И. Вероятность и случайные вели-чины. Методические указания и варианты курсовых заданий по теории вероят-ностей. М., МАТИ, 2004.

23. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1982.

24. Выск Н.Д., Титаренко В.И. Числовые и функциональные ряды. Варианты курсовых заданий. М., МАТИ, 2001.

25. Выск Н.Д., Титаренко В.И. Неопределенный и определенный интеграл. Ва-рианты курсовых заданий. М., МАТИ, 2002.

26. Горбацевич В.В., Осипенко К.Ю. Уравнения с частными производными пер-вого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка. Методи-ческое пособие по курсу "Уравнения с частными производными". М., МАТИ, 2001.

27. Горелова Р.П., Кулакова Р.Д. Неопределенный интеграл. Методические ука-зания к курсовому проекту по теме "Вычисление интегралов". М., МАТИ, 2002.

28. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражне-ниях и задачах. Части 1, 2. М.., Высшая школа, 1980.

29. Заварзина И.Ф., Данилина И.А., Ионова А.С. Статистическая обработка ре-зультатов измерений. Методические указания к курсовому проектированию по курсу "Математическая статистика". М., МАТИ, 2001.

30. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1982.

31. Кулакова Р.Д., Титаренко В.И. Варианты курсовых заданий. Методические указания к курсовому заданию "Пределы функций. Производные". М., МАТИ, 1999.

32. Осипенко К.Ю. Аппроксимация функций многочленами и численное диф-ференцирование. Методические указания по курсу "Численные методы". М., МАТИ, 1994.

33. Осипенко К.Ю. Квадратурные формулы. Методические указания по курсу "Численные методы". М., МАТИ, 1995.

34. Раппопорт Ю.М. Maple в курсе математического анализа. Методические ука-зания к практическим занятиям по теме "Формула Тейлора". М., МАТИ, 2003.

35. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Наука, 1982.

36. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории ве-роятностей. М., Наука, 1980.

37. Селиванов Ю.В., Яновская Е.В. Дифференциальное исчисление функций не-скольких переменных. Методические указания и варианты индивидуальных за-даний. М., МАТИ, 2001.

38. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М., Мир, 1985.