МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

По данному запросу не найдено записей!

» Версия для печати

Лекции

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ЛЕКЦИИ 1–2. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи. Приближенные числа и правила их записи. Представление чисел в разрядной сетке ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Их связь с количеством верных значащих цифр в широком и узком смыслах. Погрешность округления. Абсолютная и относительная погрешности арифметических операций над приближенными числами, функций одного и нескольких переменных, неявной функции. Обратная задача теории погрешностей. Пример появления ошибок для дифференциального уравнения колебаний пружинного маятника.

ЛЕКЦИИ 3–5. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи. Корень уравнения. Простые и кратные корни. Их геометрический смысл. Основные этапы решения: отделение (локализация) корней и итерационное уточнение корней. Отрезок локализации. Способы отделения корней. Одношаговые и многошаговые итерационные методы. Скорость сходимости. Леммы о сходимости. Обусловленность задачи вычисления корня. Метод деления отрезка пополам: итерация метода, скорость сходимости, критерии окончания, количество требуемых итераций. Метод сканирования. Метод простой итерации: геометрическая интерпретация, сходимость, итерационная функция, алгоритм, априорная и апостериорная оценки погрешности, критерий окончания итераций, приведение уравнения к виду, удобному для итераций. Метод Ньютона: итерации метода, геометрическая интерпретация, сходимость, критерий окончания, связь с методом простой итерации. Модифицированный метод Ньютона. Методы хорд и секущих: геометрическая интерпретация, сходимость, критерий окончания итераций, связь с методами Ньютона и простой итерации.

ЛЕКЦИИ 6–7. Решение систем линейных уравнений. Постановка задачи. Приближенное решение. Погрешность. Невязки. Абсолютная и относительная погрешности решения. Нормы вектора и матрицы, их свойства и связь между ними. Обусловленность задачи решения системы линейных уравнений. Число обусловленности матрицы и его свойства. Метод Гаусса и его разновидности: схема единственного деления, прямой и обратный ход, трудоемкость; выбор главного элемента по столбцу (схема частичного выбора); выбор главного элемента по всей матрице (схема полного перебора). Масштабирование. Метод прогонки с трехдиагональной матрицей и его свойства. Вывод расчетных формул. Алгоритм прогонки. Метод простой итерации. Особенности его применения. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Сходимость. Априорная и апостериорная оценки погрешности. Система с положительно определенной матрицей. Влияние ошибок округления. Метод Зейделя. Достаточные условия сходимости. Априорная и апостериорная оценки погрешности. Геометрическая интерпретация.

ЛЕКЦИЯ 8. Решение систем нелинейных уравнений. Постановка задачи. Основные этапы решения. Матрица Якоби. Обусловленность задачи. Метод простой итерации. Теорема о сходимости. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Априорная и апостериорная оценки погрешности. Влияние погрешности вычислений. Модификации метода: аналог метода Зейделя, сведение к решению нелинейного скалярного уравнения на каждой итерации. Метод Ньютона. Итерационная формула. Теорема о сходимости. Система линейных уравнений относительно поправок. Трудности использования. Влияние погрешности вычисления. Упрощенный метод Ньютона. Использование формул численного дифференцирования. Оценка трудоемкости метода.

ЛЕКЦИЯ 9. Численное дифференцирование. Производная. Её геометрический смысл. Простейшие формулы численного дифференцирования: левая, правая и центральная разностные производные, их геометрическая интерпретация и оценка погрешности. Вторая разностная производная и оценка погрешности её вычисления. Построение формул численного дифференцирования с использованием интерполяционных многочленов Лагранжа. Оценка погрешности. Обусловленность формул численного дифференцирования.

ЛЕКЦИИ 10–11. Численное интегрирование. Определенный интеграл. Его геометрический смысл. Квадратурные формулы. Их погрешность. Простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, парабол. Формулы прямоугольников, трапеций, парабол. Оценка их погрешности. Метод Симпсона с двойным пересчетом. Случай переменного шага. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Вывод квадратурных формул интерполяционного типа. Оценка погрешности. Обусловленность. Квадратурные формулы Гаусса. Построение квадратурных формул Гаусса. Узлы и веса квадратурной формулы Гаусса. Обусловленность. Апостериорные оценки погрешности. Главный член погрешности. Правило Рунге практической оценки погрешности. Экстраполяция Ричардсона. Адаптивные процедуры численного интегрирования.

ЛЕКЦИЯ 12. Приближение функций. Постановка задачи приближения функций. Полиномиальная интерполяция и экстраполяция экспериментальных данных. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Погрешность интерполяции. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями. Схема Эйткена. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями. Интерполяция с кратными узлами. Интерполяционный многочлен Эрмита. Погрешность интерполяции с кратными узлами. Обратная задача интерполяции.

ЛЕКЦИЯ 13. Интерполяция функций сплайнами. Определение сплайна. Степень и дефект сплайна. Интерполяционный сплайн. Локальный сплайн. Глобальные способы построения кубических сплайнов. Система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, определяющих сплайн. Метод прогонки её решения. Краевые условия стыковки сплайна со значениями функции и её производных на концах отрезка. Фундаментальный и естественный кубические сплайны. Сплайн-аппроксимация периодических функций. Оценка погрешности приближения функции и её производных кубическими сплайнами. Обратная задача интерполяции.

ЛЕКЦИЯ 14. Метод наименьших квадратов. Линейная задача метода наименьших квадратов. Постановка задачи. Случайный характер ошибок измерений. Минимизация среднеквадратического отклонения. Нормальная система уравнений и её конкретная запись для приближающих полиномиальных моделей первой и второй степеней. Линеаризующие аппроксимирующие функции с двумя параметрами: степенная, показательная, логарифмическая, дробно-линейная, гиперболическая и дробно-рациональная функции. Выбор наилучшей из них по минимуму относительного среднеквадратического отклонения. Нелинейная задача наименьших квадратов.

ЛЕКЦИЯ 15. Численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Решение. Общее решение. Задача Коши и её геометрическая интерпретация. Теорема существования и единственности решения. Равномерная сетка с шагом h. Понятие численного решения. Порядок его точности. Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера, его геометрическая интерпретация и оценка погрешности решения. Правило Рунге практической оценки погрешности. Рекуррентные формулы. Метод Эйлера – Коши. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности. Оценка погрешности.

ЛЕКЦИЯ 16. Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Постановка задачи. Решение. Задача Коши и её геометрический смысл. Теорема существования и единственности решения. Векторная запись задачи Коши. Понятие численного решения задачи Коши на равномерной сетке. Оценка погрешности. Правило Рунге практической оценки погрешности. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности в векторной форме записи. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Сведение её к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Лабораторные

РАБОТЫ 1–2. Диапазон и формы представления чисел в ЭВМ. Точность вычисления элементарных функций, встроенных в систему программирования. Нахождение машинного эпсилон. Программное округление чисел по заданному значению абсолютной и относительной погрешности. Оценка абсолютной и относительной погрешностей арифметических операций и элементарных функций. Вычисление значений арифметических выражений по правилам подсчета цифр, со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей и по методу границ. (Работа проводится в одной из систем программирования: Pascal, C, Visual Basic и в Mathcad).

РАБОТЫ 3–4. Решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Методы деления отрезка пополам, сканирования, простой итерации, Ньютона, хорд, секущих. Блок-схемы алгоритмов. Программы. Результаты. Встроенные функции Mathcad для решения нелинейных уравнений root(f(x),x), root(f(x),x,a,b), polyroot(v), решающие блоки given – find(x), given – minerr(x) и команда f(x) solve, x ( ). Программирование в Mathcad.

РАБОТЫ 5–6. Решение систем линейных уравнений. Методы Гаусса, Крамера, простой итерации, обратной матрицы. Блок-схемы алгоритмов. Программы. Результаты. Использование встроенных процедур Mathcad: методы Гаусса, обратной матрицы, Крамера, простой итерации. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Использование решающих блоков given – find( ), given – minerr( ), lsolve(A,b). Вычисление погрешностей, чисел обусловленности и норм матриц. Программирование в Mathcad.

РАБОТА 7. Решение систем нелинейных уравнений. Методы Ньютона и простой итерации. Блок-схемы алгоритмов. Программы. Результаты. Решение в Mathcad. Графическое отделение корней. Графическое нахождение решений. Решающие блоки given – find( ); given – minerr( ). Вычисление погрешности и чисел обусловленности матрицы Якоби. Программирование в Mathcad.

РАБОТА 8. Численное дифференцирование. Табулирование функции. Вычисление производной по её определению. Вычисление производных первого и второго порядка по формулам численного дифференцирования. Блок-схемы алгоритмов. Программы. Результаты. Табулирование функции в Mathcad. Вычисление в Mathcad значений производных функции в заданной точке с помощью символьного дифференцирования. Программирование в Mathcad.

РАБОТЫ 9–10. Численное интегрирование. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Метод Гаусса. Метод Симпсона с двойным пересчетом. Блок-схемы алгоритмов. Программы. Результаты. Вычисление определенного интеграла с помощью встроенных функций Mathcad. Программирование в Mathcad вычисления интеграла по квадратурным формулам.

РАБОТА 11. Интерполяция функций полиномами Лагранжа. Аппроксимация и оценка погрешности аппроксимации функций полиномами Лагранжа первой и второй степени. Блок-схема алгоритма. Программа. Результат. Обратная интерполяция и экстраполяция. Кусочно-линейная интерполяция с помощью встроенной функции Mathcad linterp( ). Программирование в Mathcad. Графическое отображение результатов аппроксимации.

РАБОТА 12. Интерполяция функций сплайнами. Блок-схема алгоритма. Программа. Результат. Прямая и обратная задачи интерполяции. Сплайн-интерполяция с помощью встроенных функций Mathcad linterp( ), cspline( ), interp( ), pspline( ), lspline( ). Оценка погрешности прямой и обратной задач интерполяции. Программирование в Mathcad. Графическое отображение результатов интерполяции.

РАБОТА 13–14. Аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов. Блок-схема алгоритма оценки параметров зависимости методом МНК. Программа. Результат. Решение прямой и обратной задач интерполяции и экстраполяции. Решение задач интерполяции и экстраполяции в Mathcad с помощью встроенных функций intercept( ), slope( ), line( ), medfit( ), linfit( ), regress( ), interp( ), expfit( ), logfit( ), pwrfit( ), sinfit( ), lgsfit( ), lnfit( ). Оценка погрешностей прямой и обратной задач. Программирование в Mathcad.

РАБОТА 15. Численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Методы Эйлера, Рунге – Кутта второго и четвертого порядка точности. Блок-схема алгоритма. Программа. Результат. Оценка погрешности по формуле Рунге. Решение задачи Коши с помощью встроенных процедур Mathcad rkfixed( ), rkadapt( ), Rkadapt( ), решающего блока given – Odesolve( ). Программирование в Mathcad.

РАБОТА 16. Численное решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Метод Рунге – Кутта для системы дифференциальных уравнений четвертого порядка точности. Блок-схема алгоритма. Программа. Результат. Оценка погрешности по формуле Рунге. Решение задачи Коши с помощью встроенных процедур Mathcad rkfixed( ), rkadapt( ), Rkadapt( ), решающего блока given – Odesolve( ). Программирование в Mathcad.

Курсовые работы

Курсовая работа включает в себя все темы, выносимые на лабораторные занятия. По каждой теме студент выполняет задание, представляет отчет и защищает его на компьютере. Контроль за выполнением курсовой работы осуществляется поэтапно по мере прохождения материала на лабораторных занятиях.

Рекомендуемая литература

Основная

1. Азаров А.И, Басик В.А., Мелешко И.Н., Монастырный П.И. и др. Сборник задач по методам вычислений. Под ред. П.И. Монастырного. М., Физматлит, 1994.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М., Изд-во МЭИ, 2003.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., Лаборатория базовых знаний, 2000.

4. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М., Высшая школа, 2000.

5. В.М. Вербжицкий. Основы численных методов. М., Высшая школа, 2002.

6. Волков Е.А. Численные методы. СПб., Лань, 2004.

7. Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. М., Радио и связь, 1999.

8. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М., Наука, 1973.

9. Гурьев Е.К., Никулин А.М. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Часть 1. М., МАТИ, 2005.

10. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

11. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике (вводный курс). М., Изд-во МФТИ, 2000.

12. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. М., Издательский центр “Академия”, 2004.

13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1989.

14. Осипенко К.Ю. Аппроксимация функций многочленами и численное дифференцирование. Методические указания по курсу “Численные методы”. М., МАТИ, 1994.

15. Осипенко К.Ю. Квадратурные формулы. Методические указания по курсу “Численные методы”. М., МГАТУ, 1995.

16. Пирумов У.Г. Численные методы. М., Дрофа, 2003.

17. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. М., Высшая школа, 1998.

18. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. М., Физматлит, 2002.

Дополнительная

19. Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ. СПб., Лань, 2005.

20. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1. М., Наука, 1966.

21. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2. М., Физматгиз, 1962.

22. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. М., Высшая школа, 1990.

23. Гмурман В.Е. Элементы приближенных вычислений. М., Высшая школа, 2005.

24. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л. Вычислительная математика. М., Высшая школа, 1985.

25. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., Наука, 1966.

26. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001i и Mathcad 11. М., СОЛОН-Пресс, 2004.

27. Жемерев А.В. Методические указания к выполнению лабораторной работы “Проведение вычислений в математическом пакете Mathcad”. М., МАТИ, 2000.

28. Житомирский М.С., Шелест В.Д. Начала вычислительной математики. Введение в численный эксперимент. СПб., Изд-во СПб ГТУ, 1999.

29. Емельянова Н.З., Никулин А.М. Введение в Mathcad (Общие положения, функциональные возможности). Методические указания к лабораторной работе по курсу “Информатика”. М., МАТИ, 1999.

30. Иванов В.Д., Косарев В.И., Лобанов А.И. и др. Лабораторный практикум по курсу “Основы вычислительной математики”. М., МЗ ПРЕСС, 2003.

31. Исаков В.Н. Элементы численных методов. М., Издательский центр “Академия”, 2003.

32. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 11. СПб., БХВ-Петербург, 2003.

33. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. СПб., БХВ-Петербург, 2004.

34. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам. М., Логос, 2004.

35.Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. Томск, МП “РАСКО”, 1991.

36. Мысовских И.П. Лекции по методам вычисления. М., Наука, 1994.

37. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. М., Наука, 1994.

38. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум. М., Финансы и статистика, 2003.

39. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе MATHCAD. СПб., БХВ-Петербург, 2005.

40. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике. М., ГЕЛИОС АРВ, 2004.

41. Ракитин В.И. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD. М., Физматлит, 2005.

42. Ращиков В.И., Рошаль А.С. Численные методы решения физических задач. СПб., Лань, 2005.

43. Румшиский Л.З. Вычислительный лабораторный практикум по курсу высшей математики для втузов. М., Физматгиз, 1961.

44. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., Наука, 1994.