МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

По данному запросу не найдено записей!

» Версия для печати

Лекции

Лекция 1. Определители, их свойства. Раскрытие определителя по строке (столбцу). Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Лекция 2. Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица, ее применение к решению систем линейных уравнений.

Лекция 3. Метод Гаусса исследования и решения систем линейных уравнений. Нахождение общего решения, свободные и зависимые неизвестные.

Лекция 4. Свободные и закрепленные векторы. Сложение векторов, умножение их на числа. Коллинеарность и компланарность векторов. Линейная зависимость. Базис, координаты вектора. Декартова система координат. Координаты точки. Деление отрезка в заданном отношении.

Лекция 5. Проекция вектора на ось, направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление угла между векторами.

Лекция 6. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл. Условия компланарности трех векторов.

Лекция 7. Предмет и метод аналитической геометрии. Уравнение окружности. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в "отрезках". Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Лекция 8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Отклонение и расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Лекция 9. Уравнения плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Различные виды уравнений плоскости.

Лекция 10. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения, общее задание прямой. Условия перпендикулярности и параллельности прямых (прямой и плоскости) в пространстве.

Лекция 11. Преобразование декартовых координат на плоскости: параллельный перенос, поворот осей вокруг начала координат. Уравнение алгебраической линии второго порядка и его преобразование. Уравнение сферы. Классификация линий второго порядка. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

Лекция 12. Понятие о канонических поверхностях второго порядка. Обзор.

Практика

Занятие 1. Вычисление определителей. . Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Занятие 2. Операции над матрицами. Обратная матрица. . Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.

Занятие 3. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Деление отрезка в заданном отношении.. Направляющие косинусы. Скалярное произведение векторов.

Занятие 4. Векторное и смешанное произведения векторов.

Занятие 5. Прямая на плоскости. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве.

Занятие 6. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка.

Лекции

Лекция 1. Функция, область определения, график. Обратная и сложная функции. Основные элементарные функции. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь предела с бесконечно малой функцией.

Лекция 2. Свойства бесконечно малых функций. Теоремы о пределах.

Лекция 3. Первый и второй замечательные пределы. Число "е", натуральный логарифм. Сравнение бесконечно малых функций.

Лекция 4. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва. Задачи, приводящие к понятию производной.

Лекция 5. Производная функции. Уравнение касательной к кривой. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Дифференциал и его применение в приближенных вычислениях.

Лекция 6. Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Признаки монотонности и экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций на отрезке.

Лекция 7. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функций и построения графиков. Функции нескольких переменных. Область определения, предел и непрерывность функций нескольких переменных.

Лекция 8. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Полная производная. Экстремум функций нескольких переменных.

Лекция 9. Первообразные, их общий вид. Неопределенный интеграл, его простейшие свойства. Таблица основных интегралов. Основные правила интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.

Лекция 10. Интегрирование тригонометрических выражений. Введение в теорию функций комплексного переменного. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Лекция 11. Основные операции над комплексными числами, их свойства. Формулы Муавра, Эйлера, показательная форма записи комплексных чисел. Многочлены, их корни. Деление многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.

Лекция 12. Разложение многочлена на неприводимые множители. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных и квадратичных иррациональностей.

Лекция 13. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Разбиение отрезка. Интегральная сумма. Определенный интеграл, его геометрический и физический смысл. Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Лекция 14. Замена переменной. Подведение под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла (вычисление площади фигуры и длины плоской кривой в прямоугольных и полярных координатах, объема тела вращения, приложения к физике).

Лекция 15. Вычисления определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и парабол. Несобственные интегралы двух типов.

Лекция 16.Обзорная лекция

Практика

Занятие 1. Область определения, четность, нечетность функции. Сложная и обратная функции.

Занятие 2. Пределы функций.

Занятие 3. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции.

Занятие 4. Табличное дифференцирование. Производные сложных функций.

Занятие 5. Логарифмическое дифференцирование. Производные неявных и параметрически заданных функций.

Занятие 6. Уравнения касательной и нормали. Дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

Занятие 7. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Занятие 8. Исследование функций и построение их графиков.

Занятие 9. Область определения функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Производные сложных и неявных функций. Производные высших порядков.

Занятие 10. Экстремум функции нескольких переменных.

Занятие 11. Вычисление неопределенных интегралов с применением

основных формул и правил интегрирования. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям.

Занятие 12. Интегрирование тригонометрических выражений. Обзор.

Занятие 13. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование иррациональных функций.

Занятие 14. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Занятие 15. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Занятие 16. Несобственные интегралы.

Лекции

Лекция 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. Задача Коши.

Лекция 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методы понижения порядка.

Лекция 3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го (и выше) порядка с переменными коэффициентами. Структура общего решения однородного уравнения. Теорема об общем решении неоднородного уравнения.

Лекция 4. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го (и выше) порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейного уравнения 2-го порядка.

Лекция 5. Решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от специального вида правой части уравнения.

Лекция 6. Метод итераций и численные методы решения дифференциальных уравнений.

Лекция 7. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекция 8. Определение двойного и тройного интегралов, их свойства. Основные теоремы Замена переменных в кратных интегралах.

Лекция 9. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Переход к ним в кратных интегралах.

Лекция 10. Приложение кратных интегралов к геометрии и к физике.

Лекция 11. Скалярные и векторные поля. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.

Лекция 12. Циркуляция векторного поля. Вычисление циркуляции. Формула Грина.

Лекция 13. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода.

Лекция 14. Теорема Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.

Лекция 15. Элементы теории поля. Соленоидальные, гармонические, потенциальные поля. Оператор Гамильтона и его свойства. Представление градиента скалярной функции, ротора и дивергенции векторной функции через оператор Гамильтона.

Лекция 16. Обзорная лекция.

Практика

Занятие 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения 1-го порядка.

Занятие 2. Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

Занятие 3. Уравнения высших порядков. Методы понижения порядка.

Занятие 4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

Занятие 5. Решение неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора частного решения для различных видов специальных правых частей уравнений.

Занятие 6. Решение линейных систем дифференциальных уравнений.

Занятие 7. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Изменение порядка интегрирования.

Занятие 8. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Занятие 9. Вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

Занятие 10. Приложения кратных интегралов.

Занятие 11. Вычисление криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода. Формула Грина.

Занятие 12. Вычисление поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода.

Занятие 13. Вычисление интегралов по формулам Стокса и Гаусса - Остроградского.

Занятие 14-15. Применение оператора Гамильтона к вычислению градиента, дивергенции и ротора функции.

Занятие 16. Обзорное занятие.

Лекции

Лекция 1. Числовой ряд и его сумма. Простейшие свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения, Даламбера и Коши.

Лекция 2. Интегральный признак. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Лекция 3. Функциональный ряд, область сходимости. Мажорируемые ряды. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Степенной ряд, его радиус и область сходимости. Основные свойства степенных рядов.

Лекция 4. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение функций ехр(х), sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)**a. Применение рядов в приближенных вычислениях. Ряды Фурье.

Лекция 5. Ряды Фурье на отрезках (-п,п) и (-l,l). Разложение в ряд Фурье чётных и нечетных функций. Ряды Фурье на отрезке (0,l).

Лекция 6. Оригинал и изображение по Лапласу. Свойства преобразования Лапласа. Теоремы подобия, смещения, запаздывания, о дифференцировании изображения.

Лекция 7. Свертка двух оригиналов. Изображение свертки. Интегрирование оригинала и изображения. Изображение некоторых элементарных функций.

Лекция 8. Восстановление оригинала по изображению для рациональных функций. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекция 9. Случайные события. Вероятность события, её свойства. Классическое определение вероятности. Условные вероятности. Аксиомы теории вероятностей.

Лекция 10. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Лекция 11. Элементы комбинаторики. Схема Бернулли. Формулы Бернулли. Асимптотические формулы в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа. Формула Пуассона.

Лекция 12. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения непрерывной случайной величины. Плотность вероятности и её свойства.

Лекция 13. Равномерное и нормальное распределения. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Примеры вычисления.

Лекция 14. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.

Лекция 15. Предмет математической статистики. Точечные оценки. Методы оценивания. Интервальные оценки. Доверительные интервалы.

Лекция 16. Проверка гипотез. Критерий согласия Пирсона. Обзор.

Практика

Занятие 1. Исследование сходимости числового ряда (по определению, необходимый признак, признак сравнения). Применение признаков Даламбера, Коши - радикального и интегрального.

Занятие 2. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Занятие 3. Нахождение области сходимости, интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

Занятие 4. Разложение функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов.

Занятие 5. Ряд Фурье на отрезке [-п, п]. Вычисление коэффициентов Фурье. Разложение функций в ряд Фурье на отрезках [-l,l] и [0,l].

Занятие 6. Вычисление изображений по Лапласу.

Занятие 7. Дифференцирование изображения. Изображение производной и интеграла. Изображение некоторых элементарных функций.

Занятие 8. Свертка двух оригиналов. Изображение свертки. Интегрирование изображения.

Занятие 9. Восстановление оригинала по изображению для рациональных функций. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Занятие 10. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей.

Занятие 11. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула гипотез.

Занятие 12. Формула Бернулли и формула Пуассона.

Занятие 13. Дискретная случайная величина, ее закон распределения и числовые характеристики.

Занятие 14. Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики.

Занятие 15. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа. Вероятность попадания в интервал.

Занятие 16. Математическая статистика. Критерий согласия Пирсона. Обзор.

Курсовые работы

КУРСОВЫЕ РАБОТЫ

1 СЕМЕСТР

1) Линейная алгебра.

2) Аналитическая геометрия.

2 СЕМЕСТР

1) Пределы, производные. Исследование функций и построение графиков.

2) Вычисление интегралов.

3 СЕМЕСТР

1) Обыкновенные дифференциальные уравнения.

2) Вычисление кратных интегралов.

4 СЕМЕСТР

1) Числовые и функциональные ряды.

2) Операционное исчисление. Проверка статистических гипотез.

Рекомендуемая литература

1. Сборник задач по математике для втузов. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа (под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича). М., Наука, 1993.

2. Сборник задач по математике для втузов. Часть 2. Специальные разделы математического анализа (под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича). М., Наука, 1993.

3. Сборник задач по математике для втузов. Часть 3. Теория вероятностей и математическая статистика (под ред. А.В. Ефимова). М., Наука, 1993.

4. Сборник задач по математике для втузов. Часть 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения (под ред. А.В. Ефимова). М., Наука, 1993.

5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. М., Наука, 1981.

6. Чудесенко В.Ф. Сборник задач по специальным курсам высшей математики. М., Высш. школа, 1983.

7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М., Высш. школа, 1994.

8. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Высш. школа, 1978.

9. Бугров Я.С. , Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.

11. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука, 1985.

12. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 1984.

13. Берман Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.

14. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 7 изд. М., Высш. школа, 2001.

15. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 5 изд. М., Высш. школа, 2001.