МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

Математика » 3 факультет » Физика(ФИЗ) Анал. геом. и лин. алг. » Полная программа

» Версия для печати

1 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-6. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке или по столбцу. Методы вычисления определителей. Определители n-го порядка. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Операции над матрицами, их свойства. Обратная матрица, ее вычисление. Матричная запись системы линейных уравнений, решение систем с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 7-9. Векторы в пространстве, линейные операции над векторами. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности и компланарности векторов. Модуль вектора. Проекция вектора. Направляющие углы. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его свойства. Выражение скалярного произведения в координатах. Приложения скалярного произведения. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и приложения. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

ЛЕКЦИЯ 10-12. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Поверхности и их уравнения. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости, его исследование. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Взаимное расположение двух и трех плоскостей в пространстве. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой, приведение к каноническому виду. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью, между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых (прямой и плоскости) в пространстве. Расстояние от точки до прямой.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Определители, их свойства и вычисление.

ЗАНЯТИЕ 2-3. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

ЗАНЯТИЕ 4.

Операции над матрицами. Обратная матрица.

ЗАНЯТИЕ 5.

Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы.

ЗАНЯТИЕ 6. Нахождение общих решений однородных и неоднородных систем.

ЗАНЯТИЕ 7.

Векторы. Действия над векторами. Координаты вектора. Координаты точки.

ЗАНЯТИЕ 8.

Скалярное произведение векторов.

ЗАНЯТИЕ 9. Векторное и смешанное произведения векторов.

ЗАНЯТИЕ 10. Прямая на плоскости.

ЗАНЯТИЕ 11. Плоскость в пространстве.

ЗАНЯТИЕ 12.

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей пространстве.

2 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-3. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Преобразование прямоугольных декартовых координат плоскости: параллельный перенос и поворот координатных осей. Уравнение кривой второго порядка и его преобразование. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка на плоскости.

ЛЕКЦИЯ 4-8. Линейные пространства: определение и примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность пространства и базис. Координаты вектора в заданном базисе и их свойства. Изменение координат при переходе к новому базису. Подпространства. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица линейного оператора. Линейное пространство линейных операторов и его связь с пространством матриц. Произведение линейных операторов и его матрица. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы. Проблема приведения матрицы к диагональному виду. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, примеры. Собственное подпространство. Ядро и образ линейного оператора. Обратный оператор. Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора. Условие существования собственных векторов линейного оператора. Нахождение собственных векторов.

ЛЕКЦИЯ 9-12. Евклидово пространство: определение и примеры. Неравенство Коши–Буняковского. Некоторые метрические понятия в евклидовом пространстве: норма вектора, угол между векторами. Неравенство треугольника в евклидовом пространстве. Ортогональность векторов. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор, его свойства. Матрица сопряженного оператора (в ортонормированном базисе). Самосопряженные линейные операторы, их свойства, приведение к каноническому виду. Квадратичные формы от нескольких переменных и их связь с симметричными матрицами. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (к главным осям). Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды. Классификация поверхностей второго порядка.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола и парабола.

ЗАНЯТИЕ 2-3. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка.

ЗАНЯТИЕ 4. Линейные пространства. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора. Изменение координат при переходе к новому базису.

ЗАНЯТИЕ 5.

Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису.

ЗАНЯТИЕ 6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

ЗАНЯТИЕ 7. Евклидовы пространства. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации.

ЗАНЯТИЕ 8. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.

ЗАНЯТИЕ 9. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом собственных векторов.

ЗАНЯТИЕ 10. Приведение к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Курсовые работы

Курсовых работ нет.

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. В 3-х томах. Т. 1 : Элементы ли-нейной алгебры и аналитической геометрии. М., Дрофа, 2009.

2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1. М., Оникс, 2012.

3. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

Дополнительная литература:

1. Агарева О. Ю., Захаров В. Е., Селиванов Ю. В. Уравнения прямой (элементы аналити-ческой геометрии на плоскости). Методические указания для студентов вечернего отделе-ния. М., МАТИ, 2007, 1–54.

2. Выск Н. Д., Осипенко К. Ю. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011, 1–205.

3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Высшая школа, 2009.

4. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб., Лань, 2008.

5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. СПб., Лань, 2009.