МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

Математика » 3 факультет » Физика(ФИЗ) Мат. анализ 1 » Полная программа

» Версия для печати

1 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-6. Множество и его элементы. Операции над множествами и их свойства. Отображения множеств, их композиция. Обратное отображение. Множество действительных чисел, его подмножества. Функция от одной переменной, её область определения. График функции. Чётные и нечётные функции. Монотонные функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции. Класс элементарных функций. Числовая последовательность и её предел. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые функции и их свойства. Теоремы о пределах. Односторонние пределы. Бесконечно большие функции, их связь с бесконечно малыми. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Два замечательных предела. Натуральный логарифм и гиперболические функции. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва, их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

ЛЕКЦИЯ 7-13. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции, её связь с непрерывностью. Свойства производной. Производные основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, формулы Тейлора и Маклорена. Их применение к исследованию функций (на монотонность, экстремум, направление выпуклости кривой, точки перегиба). Правило Лопиталя, раскрытие неопределенностей. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

ЛЕКЦИЯ 14-16. Векторная функция скалярного аргумента. Предел, непрерывность и производная векторной функции. Параметрические уравнения кривой. Касательная и нормаль к плоской параметризованной кривой. Дифференциал дуги кривой. Кривизна, центр и радиус кривизны плоской кривой. Формулы Френе для плоской кривой.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Множества и операции над ними. Отображения и числовые функции. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления пределов.

ЗАНЯТИЕ 2. Предел последовательности действительных чисел.

ЗАНЯТИЕ 3. Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов.

ЗАНЯТИЕ 4. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечные малые. Применение эквивалентных бесконечных малых к вычислению пределов.

ЗАНЯТИЯ 5. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва. Вертикальные асимптоты. Выдача КР 1.

ЗАНЯТИЕ 6. Дифференцирование явно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

ЗАНЯТИЕ 7. Геометрические и механические приложения производной. Дифференциал функции и его применение.

ЗАНЯТИЕ 8. Производные и дифференциалы высших порядков.

ЗАНЯТИЕ 9. Производные неявных и параметрически заданных функций.

ЗАНЯТИЕ 10. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

ЗАНЯТИЕ 11. Формула Тейлора, ее применение в приближенных вычислениях и при вычислении пределов.

ЗАНЯТИЕ 12-13. Исследование функций и построение их графиков.

ЗАНЯТИЕ 14. Построение графиков функций, заданных параметрически и в полярной системе координат.

ЗАНЯТИЕ 15. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная.

ЗАНЯТИЕ 16. Кривизна, центр и радиус кривизны плоской кривой.

2 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-3. Комплексные числа, операции над ними. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Показательная функция комплексного аргумента. Формулы Эйлера и Муавра. Показательная форма комплексного числа. Многочлены и их корни. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

ЛЕКЦИЯ 4-11. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных и квадратичных иррациональностей. Интегрирование тригонометрических выражений. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Существование определённого интеграла и первообразной функции. Основные свойства определённого интеграла. Формула Ньютона—Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Приложение определенного интеграла: площадь плоских фигур, длина дуги, объем тела вращения и площадь поверхности вращения, механические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы (с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций), исследование их сходимости и вычисление.

ЛЕКЦИИ 12-16. Определение функции нескольких переменных. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность. Свойства непрерывных функций. Частные производные, их свойства и геометрический смысл. Дифференцируемость и (полный) дифференциал. Геометрический смысл и свойства дифференциала. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Применение дифференциала к приближённым вычислениям. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцирование сложных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Касательная к кривой, заданной неявно. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявно. Понятие о максимуме и минимуме. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума для функции двух переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений. Градиент и его свойства. Производная функции по направлению.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Алгебраические операции над комплексными числами.

ЗАНЯТИЕ 2. Многочлены и алгебраические уравнения. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

ЗАНЯТИЕ 3-4. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Выдача КР 2.

ЗАНЯТИЕ 5. Интегрирование рациональных функций.

ЗАНЯТИЕ 6. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

ЗАНЯТИЕ 7. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

ЗАНЯТИЕ 8. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

ЗАНЯТИЕ 9. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 10. Приложения определенного интеграла.

ЗАНЯТИЕ 11. Несобственные интегралы.

ЗАНЯТИЕ 12. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня. Частные производные.

ЗАНЯТИЕ 13. Дифференциал функции, его применение к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

ЗАНЯТИЕ 14. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.

ЗАНЯТИЕ 15. Формула Тейлора. Производная по направлению, градиент.

ЗАНЯТИЕ 16. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Курсовые работы

1 СЕМЕСТР

КР 1. Исследование функций и построение графиков.

Цель задания — освоение студентами приемов применения методов дифференциального исчисления и теории пределов к графическому выражению аналитических зависимостей.

2 СЕМЕСТР

КР 2. Вычисление интегралов.

Цель задания — освоение студентами методики применения определенных интегралов к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. В 3-х томах. Т. 2 : Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, 2007.

2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1. М., Оникс, 2012.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах. Т. 1. М., Интеграл-Пресс, 2010.

4. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М., ЛКИ, 2008.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 2. Под ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

Дополнительная литература:

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 2009.

2. Выск Н. Д. Математический анализ. В 3-х частях. Ч. 1. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011, 1–171.

3. Выск Н. Д. Математический анализ. В 3-х частях. Ч. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011, 1–151.

4. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб., Лань, 2008.

5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. СПб., Лань, 2009.

6. Селиванов Ю. В., Дементьева В. В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие. М., МАТИ, 2011, 1–88.

7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т. 1–2. СПб., Лань, 2009.