МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

Математика » 3 факультет » Физика(ФИЗ) Мат. анализ 2 » Полная программа

» Версия для печати

3 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-4. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Бесконечная геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости. Признаки сравнения. Признак сходимости Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Применение признаков сравнения, Даламбера и Коши к знакопеременным рядам.

ЛЕКЦИЯ 5-8. Функциональные ряды. Различные типы сходимости. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Интегрирование и дифференцирование рядов. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Умножение и деление степенных рядов. Подстановка одного ряда в другой. Применение степенных рядов.

ЛЕКЦИЯ 9-12. Скалярное произведение функций, ортогональные системы функций, норма функции. Разложение функции по ортогональной системе. Тригонометрическая система функций на отрезке [-pi,pi], ее ортогональность. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. Теорема Дирихле. Ряд Фурье на отрезке [-l,l]. Разложение четных и нечетных функций. Ортогональные системы и ряды Фурье на отрезках [0,pi] и [0,l]. Примеры. Ряды Фурье в комплексной форме. Кратные ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его свойства.

ЛЕКЦИЯ 13-16. Определение кратного интеграла, теорема о его существовании. Свойства кратного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Переход к полярным координатам в двойном интеграле. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле. Применение кратных интегралов к решению задач механики и геометрии (площади, объемы, масса тела, статический момент и центр тяжести, момент инерции).

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения.

ЗАНЯТИЕ 2. Признак Даламбера и радикальный признак Коши.

ЗАНЯТИЕ 3. Интегральный признак Коши. Исследование сходимости рядов с положительными членами.

ЗАНЯТИЕ 4. Исследование сходимости с применением признака Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

ЗАНЯТИЕ 5. Исследование функциональных рядов на сходимость. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

ЗАНЯТИЕ 6. Исследование сходимости и равномерной сходимости степенных рядов.

ЗАНЯТИЕ 7. Разложение функций в ряд Тейлора.

ЗАНЯТИЕ 8. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

ЗАНЯТИЕ 9-10. Разложение функций в ряды Фурье.

ЗАНЯТИЕ 11. Интеграл Фурье.

ЗАНЯТИЕ 12. Вычисление двойных интегралов сведением к повторным (в декартовых координатах).

ЗАНЯТИЕ 13. Вычисление двойных интегралов переходом к полярным координатам.

ЗАНЯТИЕ 14. Вычисление тройных интегралов сведением к повторным (в декартовых координатах).

ЗАНЯТИЕ 15. Вычисление тройных интегралов переходом к цилиндрическим и сферическим координатам.

ЗАНЯТИЕ 16. Приложение кратных интегралов к задачам геометрии и механики.

4 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-7. Скалярные и векторные поля. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства и вычисление. Циркуляция векторного поля. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Поверхностные интегралы 1-го и 2 го рода. Их свойства и вычисление. Формула Гаусса–Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его физический смысл. Потенциальное поле, его свойства. Условие потенциальности. Соленоидальное поле, его свойства. Условие соленоидальности.

ЛЕКЦИЯ 8-16. Кривые на плоскости и в пространстве. Вектор-функции. Регулярные кривые. Натуральный параметр. Соприкасающаяся плоскость и круг кривизны. Кривизна кривой. Главная нормаль и бинормаль. Формулы Френе. Кручение кривой. Сопровождающий трехгранник кривой. Натуральные уравнения кривой. Поверхности, способы их задания. Регулярные поверхности. Параметризация поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Метрические понятия на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривых на поверхности. Геодезическая и нормальная кривизна. Теорема Менье. Вторая квадратичная форма. Вычисление нормальной кривизны. Главные кривизны. Гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности. Классификация точек на поверхности. Индикатриса Дюпена. Формула Эйлера. Геодезические линии на поверхности.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.

ЗАНЯТИЕ 2-3. Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Формула Грина.

ЗАНЯТИЕ 4. Вычисление поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода.

ЗАНЯТИЕ 5. Теорема Гаусса–Остроградского и её применение. Вычисление дивергенции векторного поля.

ЗАНЯТИЕ 6. Теорема Стокса и её применение. Вычисление ротора векторного поля.

ЗАНЯТИЕ 7. Потенциальные и соленоидальные векторные поля.

ЗАНЯТИЕ 8-9. Кривые на плоскости и в пространстве. Регулярные кривые.

ЗАНЯТИЕ 10. Длина дуги кривой. Натуральный параметр.

ЗАНЯТИЕ 11. Кривизна кривой. Кручение кривой. Формулы Френе.

ЗАНЯТИЕ 12. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой.

ЗАНЯТИЕ 13. Поверхности, способы их задания.

ЗАНЯТИЕ 14-15. Кривизна кривых на поверхности.

ЗАНЯТИЕ 16. Вычисление тройных интегралов сведением к повторным (в декартовых координатах).

ЗАНЯТИЕ 15. Вычисление тройных интегралов переходом к цилиндрическим и сферическим координатам.

ЗАНЯТИЕ 16. Классификация точек на поверхности.

Курсовые работы

3 СЕМЕСТР

КР 1. Кратные интегралы.

Цель задания — освоение студентами методики применения кратных интегралов к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

4 СЕМЕСТР

КР 2. Векторный анализ.

Цель задания — освоение студентами методики применения криволинейных и поверхностных интегралов и векторного анализа к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Высшая школа, 2007.

2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 2. М., Оникс, 2012.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах. Т. 1, 2. М., Интеграл-Пресс, 2010.

4. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М., ЛКИ, 2008.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 3. Под ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

Дополнительная литература:

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 2009.

2. Выск Н. Д. Математический анализ. В 3-х частях. Ч. 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011, 1–85.

3. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб., Лань, 2008.

4. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. СПб., Лань, 2009.

5. Мышкис А. Д. Математика для технических ВУЗов. Специальные курсы. СПб., Лань, 2009.

6. Титаренко В. И., Выск Н. Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. Методические указания и варианты курсовых заданий. М., МАТИ, 2007, 1 54.

7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т. 2–3. СПб., Лань, 2009.