МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

Математика » 3 факультет » ИСТ(ИВТ), ТИАС, СМиИГ(ВТИ), ПМех(МСС) » Полная программа

» Версия для печати

1 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-4. Матрицы, действия с ними. Определители, их свойства и методы вычисления. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения: правило Крамера, с помощью обратной матрицы, метод Гаусса.

ЛЕКЦИЯ 5-7. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие углы. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Их основные свойства и координатное выражение.

ЛЕКЦИЯ 8-10. Уравнения линий на плоскости. Прямая. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Плоскость и прямая в пространстве; их уравнения. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Понятие о поверхностях второго порядка.

ЛЕКЦИЯ 11-14. Множества. Множество действительных чисел, его подмножества. Функция от одной переменной, ее область определения. График функции. Основные элементарные функции. Сложные и обратные функции. Класс элементарных функций. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства предела. Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва. Функции, непрерывные на отрезке.

ЛЕКЦИЯ 15-17. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции, ее связь с непрерывностью. Свойства производной. Производные основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций. Дифференциал функции, его свойства. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные высших порядков. Правило Лопиталя, раскрытие неопределенностей.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Определители, их свойства и вычисление. Выдача КР 1 «Алгебра и геометрия».

ЗАНЯТИЕ 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.

ЗАНЯТИЕ 3. Операции над матрицами. Обратная матрица. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.

ЗАНЯТИЕ 4. Метод Гаусса. Нахождение общих решений однородных и неоднородных систем.

ЗАНЯТИЕ 5. Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Направляющие косинусы. Координаты точки.

ЗАНЯТИЕ 6. Скалярное произведение векторов.

ЗАНЯТИЕ 7. Векторное и смешанное произведения векторов.

ЗАНЯТИЕ 8. Прямая на плоскости.

ЗАНЯТИЕ 9-10. Прямая линия и плоскость в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.

ЗАНЯТИЕ 11. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления пределов. Предел последовательности.

ЗАНЯТИЕ 12. Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов.

ЗАНЯТИЕ 13. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечные малые. Применение эквивалентных бесконечных малых к вычислению пределов.

ЗАНЯТИЕ 14. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва. Вертикальные асимптоты.

ЗАНЯТИЕ 15. Дифференцирование явно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование. Геометрические и механические приложения производной.

ЗАНЯТИЕ 16. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции и его применение. Производные высших порядков.

ЗАНЯТИЕ 17. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

2 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-3. Теоремы Ферма, Ролля, и Лагранжа, формулы Тейлора и Маклорена. Их применение к исследованию функций (на монотонность, экстремум, направление выпуклости кривой, точки перегиба). Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

ЛЕКЦИЯ 4-5. Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая иллюстрация. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Многочлены и их корни. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

ЛЕКЦИЯ 6-11. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных и некоторых иррациональных функций. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Приближенное интегрирование. Квадратурные формулы. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы, их свойства.

ЛЕКЦИЯ 12-16. Функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Полное приращение и полный дифференциал. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Касательная плоскость к поверхности. Производная по направлению. Градиент. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных функций. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума для функции двух переменных. Понятие условного экстремума.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Формула Тейлора, ее применение в приближенных вычислениях и при вычислении пределов.

ЗАНЯТИЕ 2-3. Исследование функций и построение их графиков. Выдача КР 2 «Исследование функций и построение графиков».

ЗАНЯТИЕ 4. Алгебраические операции над комплексными числами.

ЗАНЯТИЕ 5. Многочлены и алгебраические уравнения. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.

ЗАНЯТИЕ 6. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 7. Интегрирование рациональных и некоторых иррациональных функций.

ЗАНЯТИЕ 8. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

ЗАНЯТИЕ 9. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

ЗАНЯТИЕ 10. Приложения определенного интеграла.

ЗАНЯТИЕ 11. Несобственные интегралы.

ЗАНЯТИЕ 12. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня. Частные производные.

ЗАНЯТИЕ 13. Дифференциал функции, его применение к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

ЗАНЯТИЕ 14. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.

ЗАНЯТИЕ 15. Формула Тейлора. Производная по направлению, градиент.

ЗАНЯТИЕ 16. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции.

3 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-4. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, линейных). Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Общее решение. Метод Лагранжа вариации постоянных. Уравнения с правой частью специального вида. Численные методы решения дифференциальных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 5-10. Понятия двойного и тройного интегралов, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление кратных интегралов последовательным интегрированием. Замена переменных в кратных интегралах. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Формула Грина. Поверхностные интегралы. Формулы Гаусса–Остроградского и Стокса.

ЛЕКЦИЯ 11-13. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Остаток ряда. Ряды с неотрицательными членами, признаки их сходимости. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

ЛЕКЦИЯ 14-15. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Интервал сходимости. Круг сходимости степенного ряда с комплексными переменными. Основные свойства степенных рядов. Их почленное дифференцирование и интегрирование. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов для приближенных вычислений и для решения дифференциальных уравнений.

ЛЕКЦИЯ 16-17. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье. Теорема Дирихле. Ортогональные свойства тригонометрических функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье на отрезке [-l,l]. Разложение чётных и нечётных функций. Ортогональные системы и ряды Фурье на отрезках [0,pi] и [0,l].

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Выдача КР 3 «Дифференциальные уравнения».

ЗАНЯТИЕ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

ЗАНЯТИЕ 3. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

ЗАНЯТИЕ 5. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Изменение порядка интегрирования.

ЗАНЯТИЕ 6. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

ЗАНЯТИЕ 7. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

ЗАНЯТИЕ 8. Приложения кратных интегралов. Вычисление криволинейных интегралов первого рода.

ЗАНЯТИЕ 9. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Формула Грина.

ЗАНЯТИЕ 10-11. Вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода. Формулы Гаусса–Остроградского и Стокса.

ЗАНЯТИЕ 12. Исследование сходимости числовых рядов (по определению, необходимый признак сходимости, признаки сравнения).

ЗАНЯТИЕ 13. Исследование сходимости рядов с положительными членами. Применение признаков Даламбера, Коши и интегрального.

ЗАНЯТИЕ 14. Знакопеременные числовые ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

ЗАНЯТИЕ 15. Нахождение области сходимости функциональных рядов. Степенные ряды, их область сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

ЗАНЯТИЕ 16. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов.

ЗАНЯТИЕ 17. Разложение функций в ряды Фурье.

4 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-6. Функции комплексной переменной, их пределы и непрерывность. Производная и комплексная дифференцируемость. Условия Коши–Римана. Аналитичность функции в точке и в области. Гармонические и сопряженные гармонические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Понятие о конформном отображении. Некоторые элементарные функции комплексной переменной. Интеграл от функции комплексной переменной вдоль кривой, его свойства. Связь с криволинейным интегралом второго рода и вычисление в случае параметрического задания кривой. Теорема Коши. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона–Лейбница. Интегральная формула Коши. Преобразование Лапласа, его свойства. Класс оригиналов. Класс изображений. Основные теоремы операционного исчисления. Изображение некоторых элементарных функций. Восстановление оригинала по изображению для рациональных функций. Свертка двух оригиналов, ее свойства. Преобразование Лапласа свертки. Решение линейных дифференциальных уравнений и их систем операционным методом.

ЛЕКЦИЯ 7-12. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Классическое определение вероятности. Использование элементов комбинаторики для вычисления вероятности случайного события. Геометрические вероятности. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Примеры дискретных распределений. Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Плотность распределения непрерывной случайной величины, ее свойства и взаимосвязь с функцией распределения. Примеры непрерывных распределений: равномерное распределение, нормальный закон распределения вероятностей. Функция Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Их свойства и примеры. Случайные векторы. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения. Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины, ее свойства. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Числовые характеристики двумерных случайных величин: начальные и центральные моменты. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость случайных величин.

ЛЕКЦИЯ 13-16. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированные данные. Выборочная функция распределения и гистограмма. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, оценки дисперсии, начальных и центральных моментов. Точечное оценивание параметров распределения. Их основные свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность. Примеры. Интервальное оценивание неизвестных параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Построение доверительных интервалов. Статистическая проверка статистических гипотез. Понятия статистической гипотезы и статистического критерия. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия согласия Пирсона. Корреляционный и регрессионный анализ.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Функции комплексной переменной. Их дифференцирование. Условия Коши–Римана. Восстановление дифференцируемой функции по известной действительной или мнимой части.

ЗАНЯТИЕ 2. Вычисление интегралов от функций комплексной переменной.

ЗАНЯТИЕ 3. Нахождение изображений функций. Отыскание оригинала по изображению.

ЗАНЯТИЕ 4. Изображение свертки двух оригиналов. Изображение производных и интеграла от оригинала.

ЗАНЯТИЕ 5-6. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

ЗАНЯТИЕ 7. Классическое определение вероятности. Комбинаторика. Геометрические вероятности.

ЗАНЯТИЕ 8. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

ЗАНЯТИЕ 9. Формула Байеса. Формулы Бернулли и Пуассона. Выдача КР 4 «Статистическая обработка результатов измерений».

ЗАНЯТИЕ 10. Закон распределения дискретных случайных величин. Функция и плотность распределения непрерывных случайных величин. Равномерное и нормальное распределения.

ЗАНЯТИЕ 11. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

ЗАНЯТИЕ 12. Двумерные случайные величины. Их числовые характеристики.

ЗАНЯТИЕ 13. Статистический ряд. Выборочная функция распределения. Гистограмма. Числовые характеристики статистического распределения.

ЗАНЯТИЕ 14. Точечное оценивание параметров распределения. Интервальное оценивание.

ЗАНЯТИЕ 15. Проверка статистических гипотез.

ЗАНЯТИЕ 16. Корреляционный и регрессионный анализ.

Курсовые работы

1 СЕМЕСТР

КР 1. Алгебра и геометрия.

Цель задания — освоение студентами приемов применения методов линейной алгебры и аналитической геометрии для решения прикладных задач.

2 СЕМЕСТР

КР 2. Исследование функций и построение графиков.

Цель задания — освоение студентами приемов применения методов дифференциального исчисления и теории пределов к графическому выражению аналитических зависимостей.

3 СЕМЕСТР

КР 3. Дифференциальные уравнения.

Цель задания — освоение студентами методики применения дифференциальных уравнений к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

4 СЕМЕСТР

КР 4. Статистическая обработка результатов измерений.

Цель задания — освоение студентами приемов применения статистических методов для решения прикладных задач.

Суть курсовой работы — каждому студенту предлагается статистически обработать один из вариантов статистических данных, то есть определить закон распределения случайной величины, значения которой получены эмпирическим путем. Для решения этой задачи студентам необходимо выполнить следующие действия:

• Определение закона распределения случайной величины по статистическим данным.

• Нахождение неизвестных параметров распределения с последующей оценкой их достоверности.

• Проверка правдоподобия гипотез, то есть согласуется ли результат эксперимента с гипотезой о том, что данная величина подчинена тому или иному закону распределения.

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. В 3-х томах. Т. 1–3. М., Дрофа, 2009.

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Юрайт, 2011.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Юрайт, 2011.

4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1, 2. М., Оникс, 2012.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1–4. Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

Дополнительная литература:

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М., Изд-во «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2011.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Высшая школа, 2009.

3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 2009.

4. Выск Н. Д. Математический анализ. Учебное пособие. В 3-х частях. Ч. 1–3. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011.

5. Выск Н. Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011.

6. Выск Н. Д., Осипенко К. Ю. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011.

7. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. СПб., Лань, 2009.

8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах. Т. 1, 2. М., Интеграл-Пресс, 2010.

9. Селиванов Ю. В., Дементьева В. В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие. М., МАТИ, 2011, 1–88.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т. 1–3. СПб., Лань, 2009.