МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

Математика » 3 факультет » ПМех(ПМХ) Мат. методы механики » Полная программа

» Версия для печати

3 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-4. Функции комплексной переменной, их пределы и непрерывность. Производная и комплексная дифференцируемость. Условия Коши – Римана. Аналитичность функции в точке и в области. Гармонические и сопряженные гармонические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Понятие о конформном отображении. Некоторые элементарные функции комплексной переменной. Интеграл от функции комплексной переменной вдоль кривой, его свойства и вычисление в случае параметрического задания кривой. Теорема Коши. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Интегральная формула Коши. Понятие о ряде Лорана.

ЛЕКЦИЯ 5-7. Преобразование Лапласа, его свойства. Класс оригиналов. Класс изображений. Основные теоремы операционного исчисления. Изображение некоторых элементарных функций. Восстановление оригинала по изображению для рациональных функций. Свёртка двух оригиналов, ее свойства. Преобразование Лапласа свёртки. Решение линейных дифференциальных уравнений и их систем операционным методом.

ЛЕКЦИЯ 8-11. Примеры задач вариационного исчисления. Функционал, его вариация. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Функционалы с производными высшего порядка. Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких функций. Функционалы от функций нескольких переменных. Условный экстремум функционала.

ЛЕКЦИЯ 12-17. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности, уравнения Лапласа и волнового уравнения. Неограниченная струна и формула Даламбера. Метод распространяющихся волн. Полуограниченная струна. Метод продолжений. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения теплопроводности. Решение краевых задач для волнового уравнения. Двумерное уравнение теплопроводности. Решение для случаев прямоугольной и круговой области. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для простейших областей. Приближенные (сеточные) методы решения уравнений в частных производных.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Функции комплексной переменной. Их дифференцирование. Условия Коши–Римана. Восстановление дифференцируемой функции по известной действительной или мнимой части.

ЗАНЯТИЕ 2. Вычисление интегралов от функций комплексной переменной.

ЗАНЯТИЕ 3. Ряды Тейлора и Лорана. Представление аналитических функций рядами.

ЗАНЯТИЕ 4. Нахождение изображений функций. Отыскание оригинала по изображению.

ЗАНЯТИЕ 5. Изображение свертки двух оригиналов. Изображение производных и интеграла от оригинала.

ЗАНЯТИЕ 6-7. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

ЗАНЯТИЕ 8. Вариационное исчисление. Уравнение Эйлера.

ЗАНЯТИЕ 9. Экстремумы функционалов, зависящих от производных высших порядков. Решение уравнения Эйлера – Пуассона.

ЗАНЯТИЕ 10. Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких функций. Решение системы уравнений Эйлера.

ЗАНЯТИЕ 11. Задачи на условный экстремум.

ЗАНЯТИЕ 12. Приведение линейных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду.

ЗАНЯТИЕ 13. Решение уравнений колебаний струны методом Даламбера.

ЗАНЯТИЕ 14. Решение краевых задач для уравнения теплопроводности.

ЗАНЯТИЕ 15. Решение краевых задач для волнового уравнения.

ЗАНЯТИЕ 16. Двумерное уравнение теплопроводности.

ЗАНЯТИЕ 17. Уравнения Лапласа и Пуассона. Задача Дирихле для прямоугольника и круга.

Курсовые работы

Курсовых работ нет.

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб. для вузов. В 3-х томах. Т. 3. М., Дрофа, 2004.

2. Введенская Е. В., Горбацевич В. В., Осипенко К. Ю. Уравнения гиперболического типа. Методическое пособие по курсу "Уравнения с частными производными". Часть 2. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2013, 1–24.

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 2. М., Оникс, 2012.

4. Мышкис А. Д. Математика для технических ВУЗов. Специальные курсы. СПб., Лань, 2009.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 3. Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

Дополнительная литература:

1. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М., Физматлит, 2004.

2. Горбацевич В. В., Осипенко К. Ю. Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка. Методическое пособие по курсу "Уравнения с частными производными". М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2001, 1–15.

3. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. СПб., Лань, 2009.

4. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисление. Задачи и примеры с подробными решениями. М, Либроком, 2010.

5. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб., Лань, 2008.

6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах. Т. 2. М., Интеграл-Пресс, 2010.

7. Сборник задач по уравнениям математической физики. Под ред. В.С. Владимирова. М., Физматлит, 2004.

8. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., Наука, 2004.

9. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Высшая школа, 2006.