|
 Математика » 3 факультет » ПМех(МСС) Доп. главы матем. » 4 семестр » Лекции
»
Версия для печати
ЛЕКЦИЯ 1-10. Дифференциальные уравнения в частных производных. Общие понятия. Линейные уравнения в частных производных второго порядка, их преобразование и классификация. Приведение линейного уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения гиперболического типа. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа (уравнение поперечных колебаний струны, поперечные колебания мембраны, волновое уравнение в пространстве). Начальные и граничные условия. Краевые задачи. Неограниченная струна и формула Даламбера. Метод распространяющихся волн. Полуограниченная струна. Метод продолжений. Ограниченная струна. Метод Фурье для свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах. Уравнения параболического типа. Задача о распространении тепла в стержне. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Краевые задачи. Трехмерное уравнение теплопроводности. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности для полубесконечного стержня. Двумерное уравнение теплопроводности. Решение для случая прямоугольной области. Уравнения эллиптического типа. Задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для круга. Приближенные (сеточные) методы решения уравнений в частных производных. ЛЕКЦИЯ 11-16. Примеры задач вариационного исчисления. Функционал, его вариация. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума. Простейшая задача вариационного исчисления. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера – Пуассона. Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких функций. Система уравнений Эйлера. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера – Остроградского. Вариационные задачи с подвижными границами. Условный экстремум функционала.
|
