МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

Математика » 3 факультет » ПМех(МСС) Доп. главы матем. » Полная программа

» Версия для печати

4 семестр

Лекции

ЛЕКЦИЯ 1-10. Дифференциальные уравнения в частных производных. Общие понятия. Линейные уравнения в частных производных второго порядка, их преобразование и классификация. Приведение линейного уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения гиперболического типа. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа (уравнение поперечных колебаний струны, поперечные колебания мембраны, волновое уравнение в пространстве). Начальные и граничные условия. Краевые задачи. Неограниченная струна и формула Даламбера. Метод распространяющихся волн. Полуограниченная струна. Метод продолжений. Ограниченная струна. Метод Фурье для свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах. Уравнения параболического типа. Задача о распространении тепла в стержне. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Краевые задачи. Трехмерное уравнение теплопроводности. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности для полубесконечного стержня. Двумерное уравнение теплопроводности. Решение для случая прямоугольной области. Уравнения эллиптического типа. Задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для круга. Приближенные (сеточные) методы решения уравнений в частных производных.

ЛЕКЦИЯ 11-16. Примеры задач вариационного исчисления. Функционал, его вариация. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума. Простейшая задача вариационного исчисления. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера – Пуассона. Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких функций. Система уравнений Эйлера. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера – Остроградского. Вариационные задачи с подвижными границами. Условный экстремум функционала.

Практика

ЗАНЯТИЕ 1. Приведение линейных уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду.

ЗАНЯТИЕ 2. Решение уравнений колебаний струны методом Даламбера.

ЗАНЯТИЕ 3. Решение уравнений гиперболического и параболического типа методом Фурье.

ЗАНЯТИЕ 4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для простейших областей.

ЗАНЯТИЕ 5. Вариационное исчисление. Уравнение Эйлера.

ЗАНЯТИЕ 6. Экстремумы функционалов, зависящих от производных высших порядков. Решение уравнения Эйлера–Пуассона.

ЗАНЯТИЕ 7. Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких функций. Решение системы уравнений Эйлера.

ЗАНЯТИЕ 8. Задачи на условный экстремум.

Курсовые работы

Курсовых работ нет.

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб. для вузов. В 3-х томах. Т. 3. М., Дрофа, 2004.

2. Введенская Е. В., Горбацевич В. В., Осипенко К. Ю. Уравнения гиперболического типа. Методическое пособие по курсу "Уравнения с частными производными". Часть 2. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2013, 1–24.

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 2. М., Оникс, 2012.

4. Мышкис А. Д. Математика для технических ВУЗов. Специальные курсы. СПб., Лань, 2009.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 3. Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

Дополнительная литература:

1. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М., Физматлит, 2004.

2. Горбацевич В. В., Осипенко К. Ю. Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка. Методическое пособие по курсу "Уравнения с частными производными". М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2001, 1–15.

3. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. СПб., Лань, 2009.

4. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисление. Задачи и примеры с подробными решениями. М, Либроком, 2010.

5. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб., Лань, 2008.

6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах. Т. 2. М., Интеграл-Пресс, 2010.

7. Сборник задач по уравнениям математической физики. Под ред. В.С. Владимирова. М., Физматлит, 2004.

8. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., Наука, 2004.

9. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Высшая школа, 2006.