МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Программы

Математика » a2 факультет » РТН(ТЭС), ТПЛА(РКК) » Полная программа

» Версия для печати

1 семестр

Лекции

Лекция 1-3. Матрицы, действия с ними. Определители, их свойства и методы вычисления. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения: правило Крамера, с помощью обратной матрицы, метод Гаусса.

Лекция 4-5. Понятие вектора, линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие углы. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Их основные свойства и координатное выражение.

Лекция 6-8. Уравнения линий на плоскости. Прямая. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Плоскость и прямая в пространстве; их уравнения. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Понятие о поверхностях второго порядка.

Практика

Занятие 1. Определители, их свойства и вычисление. Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера. Выдача КР 1 «Алгебра и геометрия».

Занятие 2. Операции над матрицами. Обратная матрица. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Метод Гаусса. Нахождение общих решений однородных и неоднородных систем.

Занятие 3. Векторы. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Направляющие косинусы. Координаты точки. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведения векторов.

Занятие 4. Прямая на плоскости. Прямая линия и плоскость в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.

2 семестр

Лекции

Лекция 1-3. Множество действительных чисел, его подмножества. Функция от одной переменной, ее область определения. График функции. Основные элементарные функции. Сложные и обратные функции. Класс элементарных функций. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства предела. Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва.

Лекция 4-6. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций. Дифференциал функции, его свойства. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Производные высших порядков. Правило Лопиталя, раскрытие неопределенностей. Теорема Лагранжа, формулы Тейлора и Маклорена. Их применение к исследованию функций (на монотонность, экстремум, направление выпуклости кривой, точки перегиба). Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Лекция 7-8. Функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции. Частные производные. Полный дифференциал. Дифференцирование сложных функций. Частные производные высших порядков. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума для функции двух переменных.

Практика

Занятие 1. Вычисление пределов функций и последовательностей. Эквивалентные бесконечно малые. Исследование функций на непрерывность. Выдача КР 2 «Исследование функций и построение графиков».

Занятие 2. Дифференцирование явно заданных функций. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Дифференциал функции и его применение. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Занятие 3. Формула Тейлора. Исследование функций и построение их графиков.

Занятие 4. Функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций. Частные производные высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных.

3 семестр

Лекции

Лекция 1-5. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование простейших рациональных и иррациональных выражений. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Приближенное интегрирование. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах. Свойства кратных интегралов и сведение их к повторным интегралам. Переход в двойном интеграле к полярным координатам.

Лекция 6-8. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, линейных). Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Практика

Занятие 1. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Занятие 2. Интегрирование рациональных и ир-рациональных выражений. Выдача КР 3 «Определенный интеграл и диф-ференциальные уравнения».

Занятие 3. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Занятие 4. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Занятие 5. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Изменение порядка интегрирования. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Вычисление тройного интеграла. Приложения кратных интегралов.

Занятие 6. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Занятие 7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Занятие 8. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

4 семестр

Лекции

Лекция 1-2. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами, признаки их сходимости. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Степенные ряды. Радиус и область сходимости. Основные свойства степенных рядов. Их почленное дифференцирование и интегрирование. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение рядов в приближенных вычислениях.

Лекция 3-6. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Классическое определение вероятности. Использование элементов комбинаторики для вычисления вероятности случайного события. Геометрические вероятности. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Плотность распределения непрерывной случайной величины, ее свойства и взаимосвязь с функцией распределения. Нормальный закон распределения вероятностей. Функция Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Их свойства и примеры.

Лекция 7-8. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированные данные. Выборочная функция распределения и гистограмма. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, оценки дисперсии, начальных и центральных моментов. Точечное оценивание параметров распределения. Их основные свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность. Интервальное оценивание неизвестных параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Построение доверительных интервалов. Понятия статистической гипотезы и статистического критерия. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия согласия Пирсона.

Практика

Занятие 1. Исследование сходимости числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость.

Занятие 2. Степенные ряды, нахождение их области сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Выдача КР 4 «Статистическая обработка результатов измерений».

Занятие 3. Классическое определение вероятности. Комбинаторика. Геометрические вероятности.

Занятие 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Занятие 5. Формулы Бернулли и Пуассона. Закон распределения дискретных случайных величин.

Занятие 6. Функция и плотность распределения непрерывных случайных величин. Равномерное и нормальное распределения. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

Занятие 7. Статистический ряд. Выборочная функция распределения. Гистограмма. Числовые характеристики статистического распределения.

Занятие 8. Точечное оценивание параметров распределения. Интервальное оценивание. Проверка статистических гипотез.

Курсовые работы

1 СЕМЕСТР

КР 1. Алгебра и геометрия.

Цель задания — освоение студентами приемов применения методов линейной алгебры и аналитической геометрии для решения прикладных задач.

2 СЕМЕСТР

КР 2. Исследование функций и построение графиков.

Цель задания — освоение студентами приемов применения методов дифференциального исчисления и теории пределов к графическому выражению аналитических зависимостей.

3 СЕМЕСТР

КР 3. Определенный интеграл и дифференциальные уравнения.

Цель задания — освоение студентами методики применения интегралов и дифференциальных уравнений к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.

4 СЕМЕСТР

КР 4. Статистическая обработка результатов измерений.

Цель задания — освоение студентами приемов применения статистических методов для решения прикладных задач.

Суть курсовой работы — каждому студенту предлагается статистически обработать один из вариантов статистических данных, то есть определить закон распределения случайной величины, значения которой получены эмпирическим путем. Для решения этой задачи студентам необходимо выполнить следующие действия:

• Определение закона распределения случайной величины по статистическим данным.

• Нахождение неизвестных параметров распределения с последующей оценкой их достоверности.

• Проверка правдоподобия гипотез, то есть согласуется ли результат эксперимента с гипотезой о том, что данная величина подчинена тому или иному закону распределения.

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. В 3-х томах. Т. 1–3. М., Дрофа, 2009.

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Юрайт, 2011.

3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Юрайт, 2011.

4. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1, 2. М., Оникс, 2012.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1–4. Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

Дополнительная литература:

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М., Изд-во «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2011.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Высшая школа, 2009.

3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 2009.

4. Выск Н. Д. Математический анализ. Учебное пособие. В 3-х частях. Ч. 1–3. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011.

5. Выск Н. Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011.

6. Выск Н. Д., Осипенко К. Ю. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011.

7. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. СПб., Лань, 2009.

8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах. Т. 1, 2. М., Интеграл-Пресс, 2010.

9. Селиванов Ю. В., Дементьева В. В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие. М., МАТИ, 2011, 1–88.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т. 1–3. СПб., Лань, 2009.