МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Главная  

О кафедре  

Программы  

Учебные пособия  

Публикации  

Гранты  

Экзамены  

Труды семинара  

:: Научные работы

Основные научные направления

На кафедре активно ведутся научные исследования. Наиболее крупными научными направлениями являются следующие:

1. Теория приближений. Оптимальное восстановление. Аппроксимативные характеристики классов аналитических функций. - Осипенко К.Ю., д.ф.-м.н., профессор, зав. каф.

2. Компактные однородные многообразия. Алгебры Ли. Дифференциальная геометрия. - Горбацевич В.В., д.ф.-м.н., профессор.

3. Теория упругости, механика деформируемого твердого тела, механика разрушения. - Шифрин Е.И., д.ф.-м.н., профессор.

4. Функциональный анализ. Банаховы и топологические алгебры, их когомологии и гомологические характеристики. Селиванов Ю. В.,д.ф-м.н., профессор.

5. Применение математической теории оптимальных процессов к решению актуальных задач космонавтики. Никулин А.М., к.т.н., профессор.

Вклад в теорию приближений

Научное направление 'Теория приближений и оптимальное восстановление' представлена зав. кафедрой, проф. К.Ю. Осипенко, являющимся учеником академика Н.С. Бахвалова и проф. В.М. Тихомирова. Цикл проблем, рассматриваемых в этом направлении, можно кратко охарактеризовать как исследование аппроксимативных характеристик и оптимальных методов аппроксимации для различных функциональных классов. В числе таких характеристик - различные n-поперечники (по Колмогорову, Гельфанду, линейные, информационные и др.). В частности, изучается столь актуальный в настоящее время вопрос о компактных способах компрессии информации о различных объектах. Одним из основателей данного направления является академик А.Н. Колмогоров и его ученик проф. В.М. Тихомиров. Ныне это направление поддержано грантом государственной программы 'Ведущие научные школы России', одним из основных участников которого является К.Ю. Осипенко. Основные результаты К.Ю. Осипенко связаны с распространением классических в теории приближений вещественных функций теорем (точные значения n-поперечников, неравенства для производных Колмогорова, оптимальные методы восстановления, квадратурные формулы) на классы аналитических функций. Им получены аналоги известных формул Котельникова и Картрайт для аналитических и гармонических функций, построены оптимальные методы восстановления функций из пространств Харди-Соболева на основании информации об их коэффициентах Фурье или значениях в фиксированном наборе точек, вычислены точные значения колмогоровских n-поперечников классов Харди-Соболева, получен аналог неравенства Колмогорова для классов Харди-Соболева.

Остановимся несколько подробнее на круге задач, рассматриваемых в этой области.

Одной из основных целей теории аппроксимации является 'финитизация' (преобразование в конечную) той бесконечной информации, которая содержится в понятии функции.

Для более отчетливого понимания сказанного приведем пример, навеянный идеями теории информации. Представим себе, что нам поступает определенная информация (график функции, фотоснимок, какое-то изображение и т.п.) и требуется передать эту информацию по телеграфу так, чтобы специалист, получивший сигнал на приемном устройстве, смог бы восстановить изначальную информацию с нужной точностью. Цель - добиться всего этого наиболее экономным способом. Чтобы вложить точный смысл в сказанное, надо кое-что пояснить и ответить на некоторые вопросы.

Как осуществляется финитизация? Обычно так: сначала функцию 'кодируют' конечным числом элементов или конечным набором чисел (скажем, вычисляют n значений функций в различных точках, или ее n коэффициентов Фурье или Тейлора и т.п.). А затем по этому коду строится какой-либо оператор 'декодирования', приводящий к восстановлению функции с некоторой точностью. Это может быть интерполяционная формула (где интерполирование производится полиномами, сплайнами и т.п.), могут быть суммы Фурье, Фейера, Джексона, отрезок ряда Тейлора и многое другое. Иногда эта конечная информация нам уже задана и тогда возникает желание найти возможно лучший алгоритм декодирования функции по ее коду, но обычно имеется выбор и самого кодирования (из некоторого семейства кодирований) и некоторое семейство декодирований данных кодов. И требуется выбрать пару - кодирование-декодирование - возможно лучшую.

Один из подходов таков. Следует предположить, что мы располагаем некоторой 'глобальной (априорной) информацией' о тех функциях, которые могут нам встретиться. Эта информация объединяет все допустимые функции в некоторый функциональный класс. А для восстановления используется некоторая 'индивидуальная' информация, дающая возможность, декодируя ее, восстановить элемент с заданной точностью.

Возможна постановка задачи об оптимальном средстве приближения, когда ищется наилучшее подпространство заданной размерности как средство приближения данного класса среди подпространств данной размерности, или об оптимальном линейном операторе как оптимальном методе приближения данного класса.

В 1936 г. А.Н. Колмогоров опубликовал работу по теории приближений, в которой по сути дела был поставлен вопрос о наилучшем средстве приближения на классе функций, где в качестве аппарата приближения рассматривались всевозможные n-мерные подпространства. При этом была введена величина, получившая название n-поперечника по Колмогорову.

Величины, подобные поперечникам, позволяют ставить и разрешать такого рода вопросы: какая ортонормированная система является оптимальной для приближения данного класса функций методом Фурье? Какой линейный n-мерный оператор обладает таким же оптимальным свойством? Какое n-мерное подпространство лучше всего аппроксимирует заданный класс? Какой непрерывный оператор с n-мерным образом обладает наилучшими аппроксимационными свойствами? Какова точность восстановления функции по таблице, каждый элемент которой записывается n двоичными знаками?

В 1965 г. С.А. Смоляк, во многом исходя из идей А.Н. Колмогорова, поставил задачу приближения линейного функционала (например, значения функции или ее производной, интеграл от функции) на некотором множестве, как правило, функциональном классе, по информации о значениях других функционалов. Отличие этой постановки от классических постановок задач приближения заключалось в том, что заранее не фиксировалось средство приближения (ранее в классических задачах обычно предписывалось приближать функцию некоторыми заранее фиксированными множествами других функций - полиномами, рациональными функциями, сплайнами и т.д.). Требовалось лишь максимально использовать имеющуюся информацию. В конце семидесятых годов в работах американских математиков Мичелли и Ривлина для задач такого типа был введен термин 'оптимальное восстановление'.

Первые результаты по оптимальному восстановлению ограниченных аналитических функций были получены в начале семидесятых годов К.Ю. Осипенко. Им, в частности, был установлен неожиданный факт, что формула Тейлора не является оптимальной для таких функций, и построена оптимальная формула восстановления по информации о коэффициентах Тейлора. Затем в совместной работе с А.Г. Марчуком была обобщена постановка задачи оптимального восстановления на случай задания информации с погрешностью и был получен основной результат о существовании линейных опимальных методов восстановления на выпуклых ценрально-симметричных множествах, который в дальнейшем обобщался многими авторами.

Усилиями значительного числа математиков для классов гладких функций, представимых в виде свертки с ядрами, не повышающими осцилляции, была построена общая теория для задач восстановления, приближения, квадратурных формул и поперечников. Однако классы аналитических функций, как правило, не представимы в таком виде и для них требовались как конкретные результаты для аналогичных задач, так и своя теория. Возник также естественный вопрос: нельзя ли построить единую теорию, применимую для гладких и аналитических функций?

Общая теория для гладких функций во многом опирается на технику подсчета числа перемен знака функций. Отсутствие соответствующих аналогов для функций многих переменных и для комплекснозначных функций делает, вообще говоря, неприменимой эту технику в более общей ситуации. Тем не менее удалось сделать ряд существенных продвижений и разработать начала теории, которая является универсальной относительно гладкого и аналитического случаев. К таким продвижениям относятся результаты К.Ю. Осипенко, полученные о точных значениях колмогоровских поперечников для функциональных классов, задаваемых оператором (не обязательно линейным), не повышающим осцилляции. А также разработанный недавно метод параметризации экстремального элемента, позволивший впервые получить ряд общих результатов об оптимальном восстановлении и оптимальных квадратурных формулах на классах Харди-Соболева.

Следует отметить также результаты К.Ю. Осипенко, полученные совместно с М.И. Стесиным, касающиеся решения задач восстановления для многомерных пространств Харди, где, в частности, получено обобщение классической леммы Шварца. В этих же работах впервые удалось найти подход к решению задач восстановления в пространствах Бергмана, свойства которых изучены значительно меньше, чем пространств Харди. Полученные результаты в этом направлении оказали решающую роль при решении американскими и шведскими математиками важной задачи факторизации в пространствах Бергмана.

Вклад в теорию групп и алгебр Ли

Научное направление - группы и алгебры Ли, их однородные пространства - представлено на кафедре д.ф.-м.н., проф. Горбацевичем В.В. Группы и алгебры Ли являются одними из основных объектов современной математики, они находят применения практически во всех областях современной абстрактной математики, а также во многих прикладных областях науки. В СССР основателями этого направления являлись Е.Б. Дынкин и А.И. Мальцев. Ныне в этом направлении широко известны работы А.Л. Онищика (ученика Е.Б. Дынкина), Э.Б. Винберга и их учеников. В.В. Горбацевич - ученик А.Л. Онищика и продолжатель идей А.И. Мальцева, является автором большого числа работ, посвященных строению групп и алгебр Ли, компактных однородных пространств групп Ли, геометрическим и топологическим свойствам этих пространств. Им написаны (в соавторстве) три монографии по группам и алгебрам Ли, которые переведены на английский язык и изданы крупнейшим издательством математической литературы Шпрингер в серии 'Энциклопедия современной математики'. Он также участвовал в написании пятитомной 'Математической энциклопедии' (статьи по группам и алгебрам Ли), которая была переведена на английский и испанский языки.

Однородное пространство - это гладкое многообразие, на котором задано транзитивное действие некоторой группы Ли. Тем самым однородное пространство во всех своих точках устроено одинаково (отсюда и название 'однородное'). Понятие однородного пространства впервые приобрело в математике особое значения после изложения Феликсом Клейном своей Эрлангенской программы исследования геометрии (а точнее, геометрий, так как именно множественность геометрий и разработка единого метода их исследования и были основной задачей этой программы). В современной геометрии обычно рассматриваются различные геометрические структуры, инвариантные относительно заданного транзитивного действия группы Ли. Таким образом образуются понятия риманова однородного пространства и псевдориманова однородного пространства, которые играют огромную роль в физике, в частности в теории относительности (общей и специальной), космологии, в теории элементарных частиц и в попытках построить единую теорию поля. Инвариантные симплектическая и контактная структуры на однородном пространстве стали особенного широко использоваться в последние десятилетия 20-го века в связи с новыми подходами физиков к изучению динамических систем. В топологии однородные пространства с самого начала развития этой науки (конец 19-го - начало 20-го веков) использовались как модельные примеры для исследования. При этом иногда оказывалось, что даже самые простые однородные пространства с точки зрения топологии оказывались устроенными чрезвычайно сложно. Например, гомотопические группы такого простого однородного пространства как сфера (транзитивно на которой естественным образом действует ортогональная группа) вычислить не удается до сих пор, несмотря на огромные усилия, затраченные на это.

В.В. Горбацевичем были классифицированы однородные пространства малой размерности. Ранее такая классификация была известна только для размерностей 1 и 2 (в работах Э. Картана и Дж. Мостова). В частности, были перечислены все однородные многообразия размерности 3 и минимальные среди групп Ли, транзитивных на них. Далее, перечислены все компактные однородные пространства размерности 4, а в размерностях 5 и 6 компактные однородные пространства были классифицированы с точностью до конечнолистного накрытия. В последние годы эти результаты были использованы рядом зарубежных математиков при решении задач, связанных с исследованием однородных пространств небольшой размерности.

Была построена общая теория компактных однородных пространств, которая позволила весьма подробно изучить топологическое строения этих пространств. При этом были построены несколько расслоений (натуральное, борелевское, структурное), которые указывали на аналогию строения компактных однородных пространств и строения группы Ли. В частности, были выделены полупростая и разрешимая компоненты компактного однородного пространства, а также почти односвязная компонента. Были выделены и подробно исследованы несколько естественно возникающих классов однородных пространств, в которые в качестве частных случаев входили такие широко исследовавшиеся ранее классы однородных пространств как однородные пространства полупростых компактных групп Ли, солвмногообразия (однород-ные пространства разрешимых групп Ли) и др.

В.В. Горбацевичем был выделен новый класс однородных пространств - плезиокомпактные. Этот класс однородных пространств включает в себя, в частности, как все компактные однородные пространства, так и еще один важный класс однородных пространств - квазикомпактные (так называют однородные пространства, на которых имеется инвариантная мера с конечным объемом). Было показано, что на этот класс однородных пространств распространяются многие утверждения, полученные ранее для компактных однородных пространств. Однако при изучении плезиокомпактных однородных пространств были получены и принципиально новые результаты, связанные, в частности, с понятиеми орбиофолдов и расслоения Зейферта. Удалось довести до логического завершения программу исследования однородных пространств, выйдя при этом, однако, за пределы категории гладких многообразий и применив методы теории орбифолдов. Кроме того, была установлены связь построенной теории с таким популярным в современной математике объектом как геометрии Терстона. Эти геометрии в трехмерном случае были введены и изучены У.Терстоном с целью геометризации топологии (знаменитая гипотеза Терстона о разложении произвольного трехмерного компактного многообразия на геометрические 'куски' не доказана до сих пор). Эти геометрии можно рассматривать как довольно естественные обобщения классических геометрий постоянной кривизны (евклидовой, а также геометрий Римана и Лобачевского).

В последние годы ведется исследование различных геометрических структур на однородных пространствах. Были получены результаты, позволяющие по-новому посмотреть на такую классическую тему как римановы инвариантные метрики на группах Ли. Было введено понятие метрики максимальной подвижности и указаны особенности групп изометрий такого рода метрик.

Вклад в механику деформируемого твердого тела

Основное научное направление деятельности проф. Е.И. Шифрина связано с математическими задачами механики деформируемого твердого тела и, в частности, с задачами механики разрушения. С математической точки зрения задачи механики разрушения сводятся к решению системы уравнений теории упругости в областях с разрезами. Они находят широкое применение при оценке прочности крупногабаритных конструкций и изделий. В нашей стране развитие механики разрушения главным образом связано с именами Г.И. Баренблатта, В.В. Новожилова, М.Я. Леонова, Г.П. Черепанова, Н.Ф. Морозова, Р.В. Гольдштейна и др. В настоящее время это направление поддержано грантом в рамках государственной программы 'Ведущие научные школы России', руковдителем которого является Р.В. Гольдштейн. Е.И. Шифрин - активный участник этого гранта, им опубликовано более 70 научных работ в центральных отечественных и международных журналах по механике и математике, подготовлена к печати монография. В 1997 г. он получил грант NATO-CNR (4-х месячный грант для исследовательской работы в Италии).

Среди результатов Е.И. Шифрина можно выделить следующие.

Им развита качественная теория класса эллиптических псевдодифференциальных уравнений, порядок которых находится в интервале (0, 2), аналогичная хорошо известной теории для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка. Данный класс уравнений включает в себя граничные уравнения задач теории упругости о трещинах нормального разрыва как в однородных пространствах, так и в пространствах со специальным типом неоднородностей. В рамках этой теории доказаны теоремы сравнения для решений соответствующих псевдодифференциальных уравнений, а также получены изопериметрические оценки решений, в которых различные интегральные характеристики решения в произвольной области оцениваются через соответствующие характеристики решения задачи в шаре (круге) того же объема (площади). В случае уравнений, отвечающих задачам теории трещин, полученные оценки приводят к оценкам таких важных для анализа напряженно-деформированного состояния и возможности роста трещины характеристик решения, как коэффициенты интенсивности напряжений, скачки смещений, объем трещины и др.

Построены также изопериметрические оценки решений некоторых типов дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. При построении этих оценок существенно использовался введенный автором (совместно с С.Р. Брудным) новый способ симметризации функций. Предложенная симметризация, в отличие от хорошо известных симметризаций Штейнера и Шварца, связана не с перестройкой самой функции, а с перестройкой ее модуля градиента. Применительно к задачам теории упругости развитый метод позволил получить изопериметрическую оценку крутильной жесткости неоднородного стержня, являющуюся естественным обобщением известного результата Полиа для однородных стержней. Методы построения изопериметрических оценок решений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, основанные на введенной операции симметризации функций, могут быть применены не только к задачам теории упругости, но и к некоторым другим прикладным задачам, например, к оценке потока тепла в двусвязном теле при стационарном распределении температур и неоднородной теплопроводности.

Построены также изопериметрические оценки решений ряда одномерных задач теории упругости, в частности, получены изопериметрические оценки частоты основного тона при продольных и поперечных колебаниях неоднородного стержня и первой критической силы в некоторых задачах устойчивости неоднородных стержней.

Разработан новый (двухбазисный) метод приближенного решения задачи Дирихле для эллиптических псевдодифференциальных уравнений и систем. Идея метода заключается в использовании двух систем базисных функций. Одна из них состоит из функций, имеющих правильную асимптотику у границы области, включая угловые точки. Другая система функций выбирается таким образом, чтобы легко, по возможности аналитически, вычислялись результаты применения соответствующих операторов к ее элементам. Это дает возможность при получении системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения решения по первому базису избежать вычисления как интегралов в смысле главного значения, так и конечночастных (гиперсингулярных) интегралов, возникающих при численном решении псевдодифференциальных уравнений традиционными методами. Для сходимости метода количество элементов второго базиса следует брать большим, чем количество элементов первого базиса и определять неизвестные в получающейся переопределенной системе линейных алгебраических уравнений из условия минимума отклонения. Предложенный метод является обобщением известных проекционных методов. С помощью разработанного метода получены численные решения ряда статических и динамических пространственных задач теории трещин.

Разработан аналитический метод решения задач об эллиптических трещинах в упругом пространстве. В случае статических полиномиальных нагрузок произвольного порядка развитый метод приводит к конструктивной процедуре построения аналитического решения. Для гармонических по времени нагрузок, допускающих разложение в степенной ряд по волновому числу, коэффициентами которого являются полиномы, метод приводит к конструктивной процедуре разложения решения в ряд Тейлора по волновому числу, причем позволяет вычислить произвольное количество коэффициентов ряда. Отметим, что определение каждого коэффициента сводится к решению статической задачи с полиномиальными нагрузками. Аналитические решения динамических пространственных задач теории трещин в работах Е.И. Шифрина получены впервые. Степенные ряды, с помощью которых выражаются решения, сходятся лишь в области низких частот. Для построения высокоточных приближений решений в более широкой области частот, включая средние частоты, используются аппроксимации Паде.

Постороены также численно - аналитические решения задачи об эллиптической трещине, расположенной на границе соединения двух полупространств с различными упругими свойствами.

Разработана эффективная процедура вычисления собственных частот при поперечных колебаниях балки с произвольным числом поперечных трещин. Собственные частоты используются в неразрушающих методах контроля для обнаружения трещин. Получен вид асимптотического разложения решений задачи о плоской трещине, расположенной на границе соединения двух материалов с различными упругими свойствами, вблизи ее фронта.

Вклад в теорию алгебр анализа и топологическую гомологию

Научное направление, в котором работает профессор Ю.В. Селиванов, относится к топологической гомологии - области функционального анализа, изучающей так называемые 'алгебры анализа' с использованием абстрактных гомологических методов. Это одна из важнейших частей современного анализа, глубоко связанная с алгеброй, топологией и квантовой физикой. Ее объекты имеют синтетическую природу. С одной стороны, они наделены структурой комплексной ассоциативной алгебры. С другой - они являются банаховыми пространствами (либо так называемыми квантованными банаховыми пространствами) или локально выпуклыми топологическими векторными пространствами. Обе структуры - чисто алгебраическая и функционально-аналитическая - связаны естественными аксиомами, обеспечивающими непрерывность алгебраических операций и некоторые другие свойства.

Первые примеры алгебр анализа появились значительно раньше, чем общая теория. Их источниками, в основном, служили три большие области анализа: теория функций, теория операторов и гармонический анализ. В первой из этих наук было давно замечено, что большинство классических банаховых и локально выпуклых функциональных пространств обладают важной дополнительной структурой - поточечным умножением. У операторов в роли умножения выступает их композиция, а в гармоническом анализе естественным умножением является свертка.

Первое систематическое исследование конкретных алгебр анализа, именно слабо замкнутых симметричных алгебр ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, было предпринято в знаменитом цикле работ 'Кольца операторов' Дж. фон Нойманна и Ф. Мюррея. Эти алгебры получили впоследствии название алгебр фон Нойманна. Теорию этих алгебр часто называют некоммутативной теорией меры. Фон Нойманн доказал важную теорему, неформальный смысл которой - в том, что вся информация о коммутативной алгебре фон Нойманна закодирована в некотором пространстве с мерой, функториально от этой алгебры зависящем. В настоящее время теория алгебр фон Нойманна стала общепризнанной органической частью теории алгебр анализа, особенно важной для физических приложений.

В 1939 году наш соотечественник И.М. Гельфанд опубликовал статью 'О нормированных кольцах', с которой началось развитие абстрактного подхода в теории банаховых алгебр. Самые значительные результаты теории банаховых алгебр относятся к их двум важным классам: (а) коммутативным и (б) обладающим специальной дополнительной структурой, 'инволюцией', задающей в них некую внутреннюю симметрию. В основе теории коммутативных банаховых алгебр лежит понятие максимального идеала, а также связанное с ним 'преобразование Гельфанда'. Это преобразование превращает коммутативную банахову алгебру в алгебру непрерывных функций с поточечным умножением. Уже первые приложения этой теории к рядам Фурье показали силу развитых в ней методов. Важную роль в развитии этих приложений сыграли работы Г.Е. Шилова, посвященные изучению различных классов коммутативных банаховых алгебр и идеалов в них. Особенно важным приложением теории коммутативных банаховых алгебр был построенный И.М. Гельфандом, М.Г. Крейном и Д.А. Райковым гармонический анализ на коммутативных локально компактных группах, охватывающий как частный случай классический интеграл Фурье. Стоит отметить, что основная конструкция гармонического анализа - преобразование Фурье - является специальным случаем преобразования Гельфанда. Пользуясь гармоническим анализом, Д.А. Райков обнаружил простое доказательство теоремы двойственности Л.С. Понтрягина, не использующее структурной теории коммутативных локально компактных групп.

Среди (некоммутативных) банаховых алгебр с инволюцией выделяется класс так называемых C*-алгебр. В теории этих алгебр имеется конструкция (так называемое 'универсальное представление' Гельфанда-Наймарка), реализующая C*-алгебры в виде операторных алгебр, т.е. сильно замкнутых алгебр ограниченных операторов в гильбертовом пространстве с обычной нормой и инволюцией (переход к сопряженному оператору). Из этой очень важной теоремы постепенно развилась целая дисциплина - 'некоммутативная топология'.

Появление и развитие гомологического направления в теории алгебр анализа было обусловлено в первую очередь ее 'внегомологическими' приложениями. Например, необходимость в изучении расширений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 году Н. Данфордом при исследовании спектральных операторов. Группы когомологий банаховых алгебр были впервые введены Г. Камовицем в 1962 г. по аналогии с чисто алгебраической конструкцией Хохшильда. В течение последовавшего десятилетия эти группы успешно применялись к различным вопросам, связанным с дифференцированиями и расширениями операторных алгебр, аменабельными локально компактными группами и т. п.

В 1970 году А.Я. Хелемским был предложен общий подход к гомологической теории алгебр анализа. Он впервые начал применять гомологическую технику в широком смысле - технику резольвент и производных функторов. Совокупность методов, созданных сначала в чистой алгебре А. Картаном, С. Эйленбергом, С. Маклейном и другими авторами позволила при вычислениях освободиться от стандартных комплексов, а вместо этого пользоваться той или иной специально подобранной резольвентой. Хелемскому удалось осуществить перенос гомологической техники на категории банаховых и топологических модулей и бимодулей. Эти категории не являются абелевыми, а потому они были рассмотрены как относительные категории (т. е. категории с выделенным классом допустимых морфизмов), специально приспособленные для изучения алгебр анализа и модулей над ними. Указанные методы позволили установить интересные связи гомологии банаховых и топологических алгебр с анализом и топологией. Например, они позволили получить ряд результатов о наличии аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры, дать гомологическую интерпретацию таким понятиям, как свойство паракомпактности локально компактных топологических пространств, свойство аппроксимации для банаховых пространств и др., получить глубокую информацию о структурных свойствах операторных алгебр. Кроме того, эти методы позволили подойти к самим группам когомологий алгебр анализа с более общей точки зрения и получить о них новые результаты.

Несколько позже работы А.Я. Хелемского и независимо от нее гомологические методы в теории топологических алгебр были рассмотрены Дж. Тейлором и применены им для решения классической задачи построения мультиоператорного исчисления. С технической точки зрения, примененный им подход был в основном аналогичен подходу Хелемского. Что же касается спектральной теории операторов, то здесь топологическая гомология не только позволила обобщить многие классические теоремы на случай нескольких коммутирующих операторов (такие, например, как теорема о существовании и единственности голоморфного функционального исчисления), но и получить новые результаты в 'теории одного оператора'.

На кафедре 'Высшая математика' исследования в области топологической гомологии проводятся уже более 25 лет. Изучались как традиционные гомологические характеристики операторных и других топологических алгебр - их глобальная размерность и гомологическая биразмерность, так и новые характеристики этих алгебр. Среди последних следует особо отметить так называемые слабые гомологические размерности. Также изучалась связь гомологических свойств банаховых и топологических алгебр с их классическими свойствами. Удалось установить некоторые общие закономерности, которым подчиняются гомологические характеристики. В частности, глубоко разработан вопрос о так называемой 'формуле аддитивности' для гомологических размерностей - специфическом свойстве банаховых алгебр, не имеющем аналогов в чистой алгебре. Гомологические характеристики вычислялись и оценивались для ряда операторных, сверточных и функциональных алгебр, а также для широкого класса так называемых бипроективных банаховых алгебр. Получена оценка глобальной размерности тех коммутативных банаховых алгебр, радикалы которых обладают специальными свойствами. Выделен важный частный случай, в котором радикал есть весовая сверточная алгебра на полупрямой. В качестве приложения доказана нетривиальность в этом случае двумерных когомологий и существование нерасщепимых сингулярных расширений банаховой алгебры.

Много внимания было уделено исследованию проективных банаховых модулей и модулей Фреше. Изучалось также строение полупервичных алгебр Фреше, обладающих свойством аппроксимации и имеющих нулевую глобальную размерность. В частности, получено полное описание всех алгебр из этого класса, которые являются алгебрами Аренса-Майкла. Кроме того, вычислялись группы когомологий некоторых важных классов топологических алгебр, в том числе бипроективных и биплоских банаховых алгебр. В частности, в классе бипроективных алгебр эти группы удалось вычислить для произвольных коэффициентов. Описание дано в терминах двойных мультипликаторов и квазимультипликаторов данного бимодуля коэффициентов. Особое внимание уделено 'модельному' примеру бипроективной банаховой алгебры - тензорной алгебре, порожденной дуальной парой банаховых пространств. Кроме того, получены характеризации в когомологических терминах класса бипроективных банаховых алгебр. Например, доказано, что банахова алгебра является бипроективной тогда и только тогда, когда ее одномерные когомологии с коэффициентами в бимодулях двойных мультипликаторов тривиальны. В классе биплоских банаховых алгебр группы когомологий Хохшильда точно описаны для коэффициентов в дуальных бимодулях. Рассмотрен специальный случай -- бимодули левых (правых, двойных и квази-) мультипликаторов. Это потребовало интенсивного развития теории мультипликаторов банаховых бимодулей. Также получены характеризации свойств биплоскости и аменабельности банаховых алгебр в терминах их групп когомологий с коэффициентами в пространствах мультипликаторов. Для всех биплоских банаховых алгебр точно вычислена их слабая гомологическая биразмерность. Доказано, что эта характеристика может принимать в этом классе алгебр только три значения: 0, 1 или 2. Показано, что ответ на вопрос, какое конкретно значение принимается слабой биразмерностью данной биплоской алгебры, зависит от наличия в ней односторонних и двусторонних ограниченных аппроксимативных единиц. Начата работа по изучению других 'слабых' гомологических характеристик банаховых алгебр. При определенных условиях для них доказаны 'формулы аддитивности'. Впервые построен пример полупростой банаховой алгебры слабой гомологической биразмерности один. Этот пример есть алгебра компактных операторов на проективном тензорном произведении гильбертовых пространств. Эта алгебра обладает также еще рядом интересных свойств: она является топологически простой биплоской неаменабельной банаховой алгеброй, обладающей левой ограниченной аппроксимативной единицей. В качестве следствия установлено, что у слабых гомологических характеристик нет запрещенных значений в классе полупростых банаховых алгебр.

Вклад в торию оптимальных процессов применительно к задачам космонавтики

Научное направление, в котором работает профессор кафедры А.М. Никулин - космонавтика в самых различных ее аспектах.

В последние 30 лет в работах многих авторов с помощью теории оптимальности Кротова В.Ф. доказано, что решения многих задач маневрирования космических летательных аппаратов (КЛА) (задачи ориентации, стабилизации, коррекции траектории КЛА и т.п.) представляют собой циклические оптимальные режимы (ЦОР). Такие режимы имеют место, если пассивные движения КЛА обладают цикличностью, т.е. имеют замкнутые траектории, время совершения требуемого маневра не фиксировано, а управлениями являются тяги или моменты от работающих двигателей.

ЦОР являются минимизирующими последовательностями, разновидностью скользящих оптимальных режимов характеризующихся в пределе бесконечно большим числом переключения управлений между оптимальными (базовыми) значениями. Управления переключаются так, что обеспечивается движение ('скольжение') по оптимальной траектории, называемой в этом случае линией нулевой близости скользящих режимов.

Каждый элемент минимизирующей последовательности представляет собой чередование пассивных и активных участков КЛА. Тяга (управление) включается в определенном (оптимальном) направлении только тогда, когда КЛА попадает в достаточно близкую окрестность оптимального состояния ('включение в точке'). Так как пассивные движения КЛА обладают цикличностью, то оптимальные состояния КЛА, где следует включать управляющие двигатели, тоже периодически повторяются. Вне малой окрестности оптимального состояния двигатели выключены, движение пассивно. При увеличении номера последовательности величина окрестности неограниченно уменьшается, но при этом время маневра КЛА (за счет пассивных участков) неограниченно растет. Возникает проблема выявления зависимости функционала - его отклонений от абсолютного минимума (или максимума) и времени маневра КЛА от величины окрестности, где двигатели работают. Получены соответствующие зависимости для различных актуальных задач управления КЛА, рассмотрены различные возможные схемы и конструкции, позволяющие выбрать наилучшие с точки зрения технической реализации.

Компьютерные динамические системы позволяют на новом, более высоком уровне математического формализма описывать реальные космические объекты и строить методы и способы решения таких математических моделей. Компьютерные модели описывают поведение реальных космических систем в дискретных конечномерных вероятностных булевых пространствах. Разработанные методы и способы дискредитации и квантования таких пространств позволяют учитывать степень адекватного соответствия прогностической компьютерной модели реальной динамической системе, поведение которой она описывает. Анализируется методология построения компьютерного мониторинга и преимущества новых методов по отношению к другим подходам.

Рассматриваются новые вычислительные технологии выбора оптимальных режимов КЛА, основанные на принципах синергетического проектирования. Эти принципы были успешно перенесены на задачи выбора оптимальных режимов функционирования сложных систем, в частности КЛА. В частности, решена задача выбора оптимального закона управления по углу атаки баллистической ракеты на активном участке траектории. Полученное решение показало полное совпадение с известными аналитическими результатами, но при этом оно было сформировано в рамках достаточно детальной математической модели функционирования КЛА без каких-либо условий и допущений.

А.М. Никулин - действительный член Академии космонавтики и Международной академии информатизации. Являясь членом Президиума и главным ученым секретарем Академии космонавтики, он активно участвует в многочисленных мероприятиях, совещаниях, конгрессах, проводимых Академией и Федерацией космонавтики, привлекает сотрудников кафедры и института к участию в этих мероприятиях, работает в оргкомитете студенческих Гагаринских Чтений, которые в МАТИ проводятся с 1974 года по настоящее время. А.М. Никулин - делегат съездов Федерации космонавтики СССР и России, награжден многими памятными медалями. В Международной академии информатизации он участвует в работе отделения 'Оптимизация и информатизационное обеспечение динамических систем'.

Его имя включено в справочник 'Кто есть кто в Российской академии космонавтики им. К.Э.Циолковского' (Тид Контенент - Пресс, М. 2000) и вестник Академии космонавтики (выпуск 3, М. 1998 г., изд. Центр 'Новый век').